如何证明sinx+cos√2x不是周期函数?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:53:16

如何证明sinx+cos√2x不是周期函数?

若sin(x+T)+cos(√2x+T)=sinx+cos(√2x)
即是sin(x+T)-sinx=cos(√2x)-cos(√2x+T)
即是2cos[(x+T+x)/2)cos[(x+T-x)/2]=-2sin[(√2x+√2x+T)/2]sin[([(√2x-√2x-T)/2]
即是2cos(x+T/2)cos(T/2)=2sin(√2x+T/2)sin(T/2)
即时tan(T/2)=cos(x+T/2)/sin((√2x+T/2)
等式左边为定值,右边为关于x变量,左右不等,所以原等式不等.

假设f(x)=sinx+cos√2x是以T为周期的周期函数，（T≠0）
f(x+T)=f(x)
sin(x+T)+cos(√2x+√2T)=sinx+cos√2x
所以T=2kπ且√2T=2mπ T=√2mπ (k,m都是整数)
所以√2k=m，因为m是整数，所以k=0
所以T=0，矛盾
所以sinx+cos√2x不是周期函数问题就在于即便si...

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假设f(x)=sinx+cos√2x是以T为周期的周期函数，（T≠0）
f(x+T)=f(x)
sin(x+T)+cos(√2x+√2T)=sinx+cos√2x
所以T=2kπ且√2T=2mπ T=√2mπ (k,m都是整数)
所以√2k=m，因为m是整数，所以k=0
所以T=0，矛盾
所以sinx+cos√2x不是周期函数

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