设函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)且f(1)= -a/2..(1)求证:函数f(x)有两个零点(2)设x1.x2是函数设函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)且f(1)= -a/2..(1)求证:函数f(x)有两个零点(2)设x1.x

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 15:52:01

设函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)且f(1)= -a/2..(1)求证:函数f(x)有两个零点(2)设x1.x2是函数
设函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)且f(1)= -a/2..(1)求证:函数f(x)有两个零点(2)设x1.x2是函数的两个零点,求|x1-x2|的取值范围

(1)证明:f(1)=-a/2
∴a+b+c=-a/2,∴b=-(c +3a/2)
对于f(x)=0即ax²+bx+c=0来说;
判别式△=b²-4ac=(c +3a/2)²-4ac=c²+9a²/4 +3ac -4ac=c²-ac+9a²/4=c²-ac+a²/4 +2a²=(c- a/2)² +2a²
∵a>0
∴△>0,f(x)=0有不同的两个根;
∴函数f(x)有两个零点;
(2)∵x1,x2是函数的两个零点(其实应该说(x1,0)(x2,0)是函数的两个零点);所以x1,x2是方程f(x)=0的两个根;
即:ax²+bx+c=0;
根据根与系数的关系有:
x1+x2=-b/a;x1x2=c/a
∴|x1-x2|²=(x1-x2)²=x1²+x2²-2x1x2=x1²+x2²+2x1x2-3x1x2=(x1+x2)²-3x1x2=(-b/a)²-3(c/a)
又b=-(c +3a/2)
∴|x1-x2|²=(-b/a)²-3(c/a)=(c/a+ 3/2)²-3(c/a)=(c/a)²+9/4≥9/4
即:|x1-x2|²≥9/4
∴|x1-x2|≥√(9/4)=3/2
看不懂的话给我消息^_^

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