作业帮解一道微分方程!y"-3y'+2y=sinx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:09:31
解一道微分方程!y"-3y'+2y=sinx
特征方程：λ^2-3λ+2=0,解得：λ1=1,λ2=2.
所以对于的齐次方程的通解为：C1e^(x)+C2e^(2x).
设方程有形如：Asinx+Bcosx的特解.则：
-Asinx-Bcosx-3Acosx+3Bsinx+2Asinx+2Bcosx=sinx
即：
(A+3B-1)sinx+(2B-3A)cosx=0
所以：
A+3B=1
2B+3A=0
解得：A=-2/7,B=3/7.
所以方程的通解为：y=C1*e^(x)+C2*e^(2x)-(2/7)sinx+(3/7)cosx.(其中C1,C2是任意常数)
y=yp+yh
let y=e^λt...y'=λe^λt....y''=(λ^2)(e^λt)
let t=0...代入y"-3y'+2y=0...λ^2-3λ+2=0....得λ1=1...λ2=2...再代回y=e^λt得y1=e^t...y2=e^2t
yp=c1y1+c2y2....yp=c1e^t+c2e^2t
因为r(x)=sinx...特解r(x)=...
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y=yp+yh
let y=e^λt...y'=λe^λt....y''=(λ^2)(e^λt)
let t=0...代入y"-3y'+2y=0...λ^2-3λ+2=0....得λ1=1...λ2=2...再代回y=e^λt得y1=e^t...y2=e^2t
yp=c1y1+c2y2....yp=c1e^t+c2e^2t
因为r(x)=sinx...特解r(x)=Asinx+Bcosx..r'(x)=Acosx-Bsinx....r''(x)=-Asinx-Bcosx..
将r(x)..r'(x)..r''(x)代入y"-3y'+2y=sinx的y''..y'..y中
得-Asinx-Bcosx-3Acosx+3Bsinx+2Asinx+2Bcosx=sinx
因为=后面只有sinx...所以=前面的所以cosx前面的系数相加都要=0...而sinx前的系数要等於=后sinx前的系数1
所以得....(-A+3B+2A)=1.....(-B-3A+2B)=0.......A=-2/7...B=3/7
将A,B代回Asinx+Bcosx...yh=(-2/7)sinx+(3/7)cosx
所以y=c1e^t+c2e^2t+(-2/7)sinx+(3/7)cosx
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