谁能帮我简单地解释一下傅立叶级数?

谁能帮我简单地解释一下傅立叶级数?

法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）,后世称为傅里叶级数（法文：série de Fourier,或译为傅里叶级数）一种特殊的三角级数.
目录
傅里叶级数
公式
收敛性
三角函数族的正交性
奇函数和偶函数
广义傅里叶级数
编辑本段傅里叶级数
　　Fourier series 　　一种特殊的三角级数.法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出.从而极大地推动了偏微分方程理论的发展.在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数.他首先证明 傅里叶级数
多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性.傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展.在数学物理以及工程中都具有重要的应用.
编辑本段公式
　　给定一个周期为T的函数x(t）,那么它可以表示为无穷级数：　　x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1） 　　其中,a_k可以按下式计算：傅里叶级数
a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2） 　　注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}；是周期为T的函数,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）.k=0时,（1）式中对应的这一项称为直流分量,k=\pm 1时具有基波频率\omega_0=\frac{2\pi}{T},称为一次谐波或基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等.
编辑本段收敛性
　　傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛.狄利赫里条件如下：　　在任何周期内,x(t）须绝对可积； 傅里叶级数
在任一有限区间中,x(t）只能取有限个最大值或最小值； 　　在任何有限区间上,x(t）只能有有限个第一类间断点.　　吉布斯现象：在x(t）的不可导点上,如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和X(t）,那么X(t）在这些点上会有起伏.一个简单的例子是方波信号.
编辑本段三角函数族的正交性
　　所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的.事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化.一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出.三角函数族的正交性用公式表示出来就是：　　\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0; 傅里叶级数
\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n) 　　\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n) 　　\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi; 　　\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
编辑本段奇函数和偶函数
　　奇函数f_o(x)；可以表示为正弦级数,而偶函数f_e(x)；则可以表示成余弦级数：　　f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx); 傅里叶级数
f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx); 只要注意到欧拉公式：e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta；,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出.
编辑本段广义傅里叶级数
　　任何正交函数系\{ \phi(x)\}；,如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点,那么如果f(x）满足封闭性方程：　　\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k} （4）,　　那么级数\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x) （5） 必然收敛于f(x）,其中：　　c_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx （6）.傅里叶级数
事实上,无论（5）时是否收敛,我们总有：　　\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}；成立,这称作贝塞尔(Bessel）不等式.此外,式（6）是很容易由正交性推出的,因为对于任意的单位正交基\{e_i\}^{N}_{i=1}；,向量x在e_i；上的投影总为；.

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。我需要的是更为实用的解释.......

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一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。...

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一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数（法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数）一种特殊的三角级数。
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傅里叶级数
公式
收敛性
三角函数族的正交性
奇函数和偶函数
广义傅里叶级数
编辑本段傅里叶...

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法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数（法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数）一种特殊的三角级数。
目录
傅里叶级数
公式
收敛性
三角函数族的正交性
奇函数和偶函数
广义傅里叶级数
编辑本段傅里叶级数
　　Fourier series 　　一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 傅里叶级数
多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 　　============================================================================================================
编辑本段公式
　　给定一个周期为T的函数x(t），那么它可以表示为无穷级数： 　　x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1） 　　其中，a_k可以按下式计算： 傅里叶级数
a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2） 　　注意到$f\_k(t)=e^\{jk(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\})t\}$；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=\pm 1时具有基波频率$\backslash omega\_0=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\}，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。$
编辑本段收敛性
　　傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 　　在任何周期内，x(t）须绝对可积； 傅里叶级数
在任一有限区间中，x(t）只能取有限个最大值或最小值； 　　在任何有限区间上，x(t）只能有有限个第一类间断点。 　　吉布斯现象：在x(t）的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和X(t），那么X(t）在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
编辑本段三角函数族的正交性
　　所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： 　　$\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (nx)\backslash cos\; (mx)\; \backslash ,dx=0;$ 傅里叶级数
$\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (mx)\backslash sin\; (mx)\; \backslash ,dx=0;(m\backslash ne\; n)$ 　　$\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash cos\; (mx)\backslash cos\; (mx)\; \backslash ,dx=0;(m\backslash ne\; n)$ 　　$\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (nx)\backslash sin\; (nx)\; \backslash ,dx=\backslash pi;$ 　　$\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash cos\; (nx)\backslash cos\; (nx)\; \backslash ,dx=\backslash pi;$
编辑本段奇函数和偶函数
　　奇函数$f\_o(x)$；可以表示为正弦级数，而偶函数$f\_e(x)$；则可以表示成余弦级数： 　　$f\_o(x)\; =\; \backslash sum\; \_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}b\_k\; \backslash sin(kx);$ 傅里叶级数
$f\_e(x)\; =\; \backslash frac\{a\_0\}\{2\}+\backslash sum\; \_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}a\_k\backslash cos(kx);$ 只要注意到欧拉公式： $e^\{j\backslash theta\}=\; \backslash sin\; \backslash theta+j\backslash cos\; \backslash theta$；，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
编辑本段广义傅里叶级数
　　任何正交函数系$\backslash \{\; \backslash phi(x)\backslash \}$；，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程： 　　$\backslash int\; \_\{a\}^\{b\}f^2(x)\backslash ,dx=\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}c^\{2\}\_\{k\}$ （4）， 　　那么级数$\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; c\_k\backslash phi\; \_k(x)$ （5） 必然收敛于f(x），其中： 　　$c\_n=\backslash int\; \_\{a\}^\{b\}f(x)\backslash phi\_n(x)\backslash ,dx$ （6）。 傅里叶级数
事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： 　　$\backslash int\; \_\{a\}^\{b\}f^2(x)\backslash ,dx\; \backslash ge\; \backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}c^\{2\}\_\{k\}$；成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基$\backslash \{e\_i\backslash \}^\{N\}\_\{i=1\}$；，向量x在$e\_i$；上的投影总为；。

收起