作业帮已知a b是正实数,n>1,n正整数,求证1/2(a^n+b^n)>=((a+b)/2)^n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 15:52:09
已知a b是正实数,n>1,n正整数,求证1/2(a^n+b^n)>=((a+b)/2)^n
（数学归纳法）(1) n=1时,(a+b)/2≥(a+b)/2成立.n=2时,(a-b)²≥0.===>a²-2ab+b²≥0.===>2(a²+b²)≥a²+2ab+b²=(a+b)².===>(a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²,成立.（2）假设n=k时,(a^k+b^k)/2≥[(a+b)/2]^k成立.两边同乘以(a+b)/2.右边是[(a+b)/2]^(k+1).左边=[a^(k+1)+b^(k+1)+b*a^k+a*b^k]/4.又[a^(k+1)+b^(k+1)]/2-左边=(a-b)(a^k-b^k)/4,易知,无论a>b,还是a≤b,该差均≥0,即有[a^(k+1)+b^(k+1)]/2≥左边≥[(a+b)/2]^(k+1).即n=k+1时也成立.
不妨设a>=b,记
a-b=2x 则x>=0
那么，a=b+2x;
原式左边等于((b+2x)^n+b^n)/2,右边等于(b+x)^n
先考察右边，二项式展开得
右边=b^n+(CN1)b^(n-1)x^1+...+(CNN)x^n;
考察左边
展开后，
b^n的系数是1(因为(b+2x)^n展开得到b^n,加上b^n，再除以2，得...
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不妨设a>=b,记
a-b=2x 则x>=0
那么，a=b+2x;
原式左边等于((b+2x)^n+b^n)/2,右边等于(b+x)^n
先考察右边，二项式展开得
右边=b^n+(CN1)b^(n-1)x^1+...+(CNN)x^n;
考察左边
展开后，
b^n的系数是1(因为(b+2x)^n展开得到b^n,加上b^n，再除以2，得到系数为1）
其余项为
(CN1)b^(n-1)(2x)^1/2
+(CN2)b^(n-2)(2x)^2/2
+(CN3)b^(n-3)(2x)^3/2
...
显然，每一项的系数都比右边的对应项要大
又X>=0 所以左边>=右边。当X=0也就是a=b时候取等号
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