作业帮函数概念与性质设函数y=f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程在区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论.*和对称性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 05:16:18
函数概念与性质
设函数y=f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程在区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论.
*和对称性有关吧?然后……*
∵在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0
∴f(5)≠0,又f(2-x)=f(2+x)
∴f(-1)=f(5)≠0
∴f(-1)≠f(1)=0
∴f(-1)≠±f(1)
即函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
f(2-x)=f(2+x),得f(x)=f(4-x);
f(7-x)=f(7+x),得f(x)=f(14-x);
所以f(4-x)=f(14-x)
f(4-(4-x))=f(14-(4-x))
得f(x)=f(x+10)
f(x)是周期函数,最小正周期为10.
当n为整数时,f(10n+1)=f(1)=0,f(10n+3)=f(3)=0,
其中-2005≤10n+1≤2005,-2005≤10n+3≤2005,
-200.6≤n≤200.4,-200.8≤n≤200.2,
这两个不等式分别有401个整数解,
即方程f(x)=0有802个根.
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有人答了
比我快还比我好。。。
∵函数f(x)在闭区间[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.
∴f(5)≠0
又f(2－x)＝f(2+x),
∴f(－1)＝f(5),
∴f(－1) ≠0，f(1)＝0
∴f(－1) ≠±f(1)，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
∵f(2－x)＝f(2+x)，→f(4－x)＝f(x)
∵f(7－x)＝f(7+x)，→f(4－x...
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∵函数f(x)在闭区间[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.
∴f(5)≠0
又f(2－x)＝f(2+x),
∴f(－1)＝f(5),
∴f(－1) ≠0，f(1)＝0
∴f(－1) ≠±f(1)，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
∵f(2－x)＝f(2+x)，→f(4－x)＝f(x)
∵f(7－x)＝f(7+x)，→f(4－x)＝f(10+x)
∴f(x)＝f(10+x)
10是函数f(x)的一个周期
∵f(7－x)＝f(7+x)，函数f(x)在[4，7]上无根.
∴函数f(x)在[7，10]上无根。
∴f(x)＝0在[0，10]上恰有两根为1和3，f(x)＝0的根为10n+1或10n+3的形式
∴－2005≤10n+1≤2005，解得－200≤n≤200，共201个
∴－2005≤10n+3≤2005，解得－200≤n≤200，共201个
∴方程f(x)＝0在闭区间[－2005，2005]上根的个数为802.
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