证明：数列11,111,1111,.中无平方数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 00:06:32

证明：数列11,111,1111,.中无平方数

形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾.
证明：若有完全平方数,
则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等.
若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等.
综上所述,不可能是完全平方数.

平方数除以4余0或1,11除以4余3，不成立，故证！

1111…1=[(10^n)-1]/9 （1111…1中有n个1）
假设1111…1(n个1)=A²,即[(10^n)-1]/9=A²，
则10^n-1=(3A)²。
该式左边个位数字为9，
故9A²中，A²=1，即A=1，代入10^n-1=(3A)²
有10^n=10,∴n=1，故数列第一项为1...

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1111…1=[(10^n)-1]/9 （1111…1中有n个1）
假设1111…1(n个1)=A²,即[(10^n)-1]/9=A²，
则10^n-1=(3A)²。
该式左边个位数字为9，
故9A²中，A²=1，即A=1，代入10^n-1=(3A)²
有10^n=10,∴n=1，故数列第一项为1，与已知矛盾，
∴数列11，111，1111,....中无平方数。

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