作业帮圆台侧面积和体积公式的推导过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:33:19
圆台侧面积和体积公式的推导过程
设圆台的上、下底面半径分别为：r1、r2,圆台的高为：h,则母线长为l=√[(r2-r1)^2+h^2]
圆台的侧面展开图是环形的一部分
大弧长为：2πr2,小弧长为：2πr1,设小扇形的半径为a,则：r2/r1=(a+l)/a
所以,a=rl*l/(r2-r1)
所以,圆台的侧面积：
S=1/2*2πr2*(a+l)-1/2*2πr1*a=π(r1+r2)l=π(r1+r2)√[(r2-r1)^2+h^2]
你可以通过圆锥体积导出,圆台是圆锥切割而成.参数如图.
圆锥公式：V = 1/3 * PI * r^2 * h (其中,PI 圆周率,r 底面半径,h为圆锥高度)
体积：上圆锥 V1 = 1/3 * PI * r1^2 * h1,整个圆锥 V2 = 1/3 * PI * r2^2 * （h1+h2）,
圆台体积：V = V2 - V1；
利用三角形相似关系：h1/h2 = r1/(r2 - r1),所以 h1 = r1/(r2 - r1) * h2,
代入圆台体积公式,并化简得：
V = 1/3 * PI * (r1^2 + r1* r2 + r2^2) * h2,其中 r1 为圆台上底面半径,r2 为圆台下底面半径,h2 为圆台的高,
附：
(1) 几个化简公式：
x^2 - y^2 = (x+y)(x-y);
x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + x*y + y^2)
你可以通过圆锥侧面积和体积导出，圆台是圆锥切割而成。参数如图。 圆锥公式：S = PI * r * l, V = 1/3 * PI * r^2 * h (其中，PI 圆周率，r 底面半径，l 圆锥母线长，h为圆锥高度) 侧面积：上圆锥：S1 = PI * r1 * l1，整个圆锥：S2 = PI * r2 * (l1 + l2)， 圆台面积 S = S2 - S1，根据三角形相似，l1/l2 = r1/(r2 - r1)，所以 l1 = r1/(r2 - r1) * l2， 所以 S =PI * r2 * (r1/(r2 - r1) * l2 + l2) - PI * r1 * r1/(r2 - r1) * l2， 化简得 S = PI * (r1 + r2) * l2，其中 r1 为圆台上底面半径，r2 为圆台下底面半径，l2 为圆台母线， 体积：上圆锥 V1 = 1/3 * PI * r1^2 * h1，整个圆锥 V2 = 1/3 * PI * r2^2 * （h1+h2）， 圆台体积：V = V2 - V1； 利用三角形相似关系：h1/h2 = r1/(r2 - r1)，所以 h1 = r1/(r2 - r1) * h2， 代入圆台体积公式，并化简得： V = 1/3 * PI * (r1^2 + r1* r2 + r2^2) * h2，其中 r1 为圆台上底面半径，r2 为圆台下底面半径，h2 为圆台的高， 附： (1) 几个化简公式： x^2 - y^2 = (x+y)(x-y); x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + x*y + y^2) (2) 圆锥体积公式很多地方可以找到