作业帮如图,AC垂直BC于点C,BC=a,CA=b,AB=c,圆O与直线AB,BC.CA,都相切,求圆O的半径.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:22:23
如图,AC垂直BC于点C,BC=a,CA=b,AB=c,圆O与直线AB,BC.CA,都相切,求圆O的半径.
过O依次作AB、AC、BC的垂线,垂足依次是D、E、F.
∵⊙O是△ABC中与∠B相对的旁切圆,∴O是∠ABC、∠CAD、∠ACF的平分线交点,
∴由角平分线性质,容易证得：BD＝BF,且OD＝OE＝OF＝旁切圆半径.
根据勾股定理,容易证得：AD＝AE、CF＝CE.∴AD＋CF＝AE＋CE＝AC＝b.
由BD＝BF,得：BC＋CF＝AB＋AD,即：a＋CF＝c＋AD.
联立：a＋CF＝c＋AD,AD＋CF＝b,容易得到：CF＝（b＋c－a）/2.
∴OF/BF＝tan∠OBF＝tan（∠ABC/2）,
∴OF＝BFtan（∠ABC/2）＝（BC＋CF）tan（∠ABC/2）＝［a＋b＋c）/2］tan（∠ABC/2）
由余弦定理,有：
cos∠ABC＝（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）
∴1－cos∠ABC＝（2ac－a^2－c^2＋b^2）/（2ac）＝［b^2－（a－c）^2］/（2ac）.
1＋cos∠ABC＝（2ac＋a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝［（a＋c）^2－b^2］/（2ac）.
∴（1－cos∠ABC）/（1＋cos∠ABC）＝［b^2－（a－c）^2］/［（a＋c）^2－b^2］.
∴tan（∠ABC/2）＝√［（1－cos∠ABC）/（1＋cos∠ABC）］
＝√｛［b^2－（a－c）^2］/［（a＋c）^2－b^2］｝.
∴OF＝（a＋b＋c）√｛［b^2－（a－c）^2］/［（a＋c）^2－b^2］｝/2.
∴该旁切圆的半径为：（a＋b＋c）√｛［b^2－（a－c）^2］/［（a＋c）^2－b^2］｝/2.
连接AO，过O点作三边的垂线。则有a+r=c+（b-
r）所以r=（c+b-a）/2
我还有三种不同答案都正确。此题答案不唯一，这是日照中考题
这答案错了，太复杂