作业帮一个关于周期函数定义的题,已知定义域R上的f（x）满足,f(x)=f(4-x),证明f(x)为周期函数如题,已知定义域R上的f（x）满足,f(x)=f(4-x),证明f(x)为周期函数.想不明白.还有条件f(x+1）和f(x-1)是奇函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:00:19
一个关于周期函数定义的题,已知定义域R上的f（x）满足,f(x)=f(4-x),证明f(x)为周期函数
如题,已知定义域R上的f（x）满足,f(x)=f(4-x),证明f(x)为周期函数.
想不明白.
还有条件
f(x+1）和f(x-1)是奇函数
f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(4-x-2)=f(2-x)
这可以说明有条对称轴是x=2
f(x+4)=f(4-(x+4))=f(-x)
这个题应该少个条件
因为f(x+T)=F(4-X-T) 显然后面的已经变成了f(-x)
这和f(x)不同,题目应该知道f(x)的奇偶性
如果f(x)是偶函数
那么f(x+4)=f(4-(x+4))=f(-x)=f(x)
所以f(x)是周期是4的周期函数
根据你给出的条件
①f(x+1)是奇函数→f(-x+1)=-f(x+1)
②f(x-1)是奇函数→f(-x-1)=-f(x-1)
由①②得：
-f(x)=-f[(x+1)-1]=f[-(x+1)-1]=f(-x-2)
f(x)=-f(-x-2)=-f[(-x-3)+1]}=f[-(-x-3)+1]=f(x+4)
所以f(x)是周期为4的周期函数
证明：∵f(x)=f(4-x)
又∵f(x+1）和f(x-1)是奇函数
∴f(x+1）＝－f(-x＋1)＝-f(x＋3)①
∴f(x-1)＝-f(-x-1)=-f(x+5)②
由①②分别得到
f(x)＝-f(x+2)
f(x)＝－f(x+6)
∴f(x+2)＝f(x+6)
∴f(x)＝f(x+4)
∴f(x)是以4为周期的周期函数
一一代入，求解
各位已经有解答了，提出个问题，供探讨。
如果没有函数奇偶性的条件，如下证明是否成立？？？
f(x)=f(4-x)，得出f(2+x)=f(2-x)
即函数f（x）的对称轴为x=2
那么函数f（x-2）的对称轴为x=0，即函数f(x)左移2，就以y轴为对称轴。
即是f(x-2)为偶函数, f(x-2)=f(-x-2)
f(2-x)=f[(4-x)-2]=...
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各位已经有解答了，提出个问题，供探讨。
如果没有函数奇偶性的条件，如下证明是否成立？？？
f(x)=f(4-x)，得出f(2+x)=f(2-x)
即函数f（x）的对称轴为x=2
那么函数f（x-2）的对称轴为x=0，即函数f(x)左移2，就以y轴为对称轴。
即是f(x-2)为偶函数, f(x-2)=f(-x-2)
f(2-x)=f[(4-x)-2]=f(x-4-2)=f(x-6)
f(2+x)=f(2-x)=f(x-6)
令u=2+x，有f(u)=f(u-8)
即函数是以T=8为周期的周期函数
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