作业帮函数y=根号sinx+根号cosx,求函数的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:36:28
函数y=根号sinx+根号cosx,求函数的值域
函数y=√sinx+√cosx,求函数的值域
定义域：2kπ≦x≦π/2+2kπ；
sinx≧0,cosx≧0,故√sinx+√cosx≧2√[√(sinxcosx)]=2[(sin2x)/2]^(1/4)=2(1/2)^(1/4)=2^(3/4)
当且仅仅当sinx=cosx,即x=π/4+2kπ时等号成立.
即1≦√sinx+√cosx≦2^(3/4)≈1.682.
y=√sinx+√cosx>=0
定义域为sinx>=0, cosx>=0, 即x在第1象限。
由不等式(a+b)^2<=2(a^2+b^2)
得：y<=√[2(sinx+cosx)]=√[2√2sin(x+π/4)]<=√(2√2)
又：y^2=sinx+cosx+2√(sinxcosx)>=sinx+cosx=√2sin(x+π/4), 因为x在第1象限，所以有...
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y=√sinx+√cosx>=0
定义域为sinx>=0, cosx>=0, 即x在第1象限。
由不等式(a+b)^2<=2(a^2+b^2)
得：y<=√[2(sinx+cosx)]=√[2√2sin(x+π/4)]<=√(2√2)
又：y^2=sinx+cosx+2√(sinxcosx)>=sinx+cosx=√2sin(x+π/4), 因为x在第1象限，所以有sin(x+π/4)>=√2/2, 故y^2>=1, 即y>=1
因此综合得值域为：[1, √(2√2)]
收起
f(x)＝2cos x＋2√3sinxcosx＋1＝(2cos x－1)＋√3×(2sinxcosx)＋2 ＝cos(2x)＋√3sin(2x)＋2＝2[1/2×cos(2x)＋√3/2×sin(2x)]＋
y=√sinx+√cosx
=√(√sinx+√cosx)^2
=√(sinx^2+cosx^2+2√sinxcosx)
=√[1+2√(sin2x/2)]
=√(1+√2*√sin2x)
∵0≤sin2x≤1
∴1≤y≤√(1+√2)