作业帮如何证明余元公式?能多细就多细,包括其中任何一个小步骤的过程.我的能力实在是太凹了.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 19:33:08
如何证明余元公式?
能多细就多细,
包括其中任何一个小步骤的过程.
我的能力实在是太凹了.
这个证明方法不唯一 仅仅给出一种十分简单的 我这里假设你已经学过欧拉积分 就是Gamma函数和Beta函数 下面给出证明
下面引入一个Gamma函数Γ(x)和Beta函数B(p,q)的关系
B(p,q)= Γ(q) *Γ(p)/ Γ(p+q)
证明过程
Γ(q) *Γ(p)=∫(0,+∞) ∫(0,+∞) [(x^p-1)(y^q-1)(e^-(x+y))] dx dy
令x==uv y=u(1-v)
Γ(q) *Γ(p)= ∫(0,+∞) ∫(0,1) [(uv^p-1)(u(1-v)^q-1)(e^-u) u]du dv
=∫(0,+∞) [u^(p+q-1)e^-u]du ∫(0,1) [v^(p-1)*(1-v)^(q-1)]dv
=Γ(p+q)* B(p,q)
下面证明余元公式
对于任意p属于（0,1）
Γ(p) Γ(1-p)= Γ(1)* B(p,1-p)= B(p,1-p)
= ∫(0,1) [x^(p-1)*(1-x)^(-p)]dx
令t=1/（1-x）
Γ(p) Γ(1-p)= ∫(0,+∞) [t^(p-1)/(1+t)]dt
将t^(p-1)/(1+t)展开 可证明它是一致收敛的函数项级数 故积分号与极限可交换 因此
Γ(p) Γ(1-p)=Σ(n=0,+ ∞) [(-1)^n/(n+p)]
利用Fourier级数即可得到
对于任意p属于（0,1）
Γ(p) Γ(1-p)=π/sin (pπ)
关于Fourier级数的一些性质这里并没有列举 不过我相信你学过级数和多项式逼近定理 Fourier级数这部分基本知识很容易掌握 如有问题 可以继续提问 我一般晚上十点半到十一点在线
：设函数 (p不是整数)由级数展开
在端点 处保持连续，显然： (*)
通过简单字母置换：
改写为：
如果 。则右边第n项的绝对值小于 。
因此，级数在此区间可逐项积分。
左边为：
右边为：
即
容易判断乘积收敛（这点要小心，必须要了解，否则会出错。如果不收敛，则推导都是形式的）则有 ...
全部展开
：设函数 (p不是整数)由级数展开
在端点 处保持连续，显然： (*)
通过简单字母置换：
改写为：
如果 。则右边第n项的绝对值小于 。
因此，级数在此区间可逐项积分。
左边为：
右边为：
即
容易判断乘积收敛（这点要小心，必须要了解，否则会出错。如果不收敛，则推导都是形式的）则有 (**)
而伽马函数采用乘积形式
因此：
比较(**)式， B.Q,
收起
F(s)F(1-s)=pi/sin(spi),而F(s)F(1-s)=B(s,1-s)（Bata函数）
F(s)F(1-s)=S(0,1)(x^(s-1))((1-x)^(-s))dx（S(0,1)表示0到1积分）
所以通过换元，F(s)F(1-s)=S(0,无穷）((x^(s-1))/(1+x))dx
而最后这个积分要用复变函数中的留数定理或傅立叶级数求出其
值为：pi/sin(spi