作业帮一道高数题,分段函数求导,分段函数f(x) =[φ(x) - cos x]/x x=/=0a x=01.求常数a的值 ,使f(x) 在 x=0 处连续;2.求f'(x).这道题的1.lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x =然後...为甚麼要一定要用洛必达法则?而
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 01:46:39
一道高数题,分段函数求导,
分段函数
f(x) =
[φ(x) - cos x]/x x=/=0
a x=0
1.求常数a的值 ,使f(x) 在 x=0 处连续;
2.求f'(x).
这道题的1.
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x =然後...
为甚麼要一定要用洛必达法则?
而用等价代换就不可以计出答案
= φ'(0)?
为甚麼这裏不可以用等价代换?
还有这道题的2怎样计...
小弟概念方面认识得不深入,可能会说出很多笨话..
问题少了一个条件..
φ具有二阶连续导数,且φ(0) = 1.
这道题的1,
因为这裏不知道φ(x) - cos x与谁等价,所以我们无法用等价代换,
就是说,现在我们不知道该用谁代换φ(x) - cos x,
而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”,保证了“φ具有一阶导数”,从而可以对φ求导数,
所以想到用洛必达法则解决问题,
lim(x->0)f(x)
= lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x
= lim(x->0) (φ'(x)+sin x )/1
= lim(x->0) (φ'(x)+sin x )
= φ'(0),（此处lim(x->0) φ'(x)=φ'(0)用到条件“φ具有一阶连续导数”,这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证）
要使f(x) 在 x=0 处连续,就要成立lim(x->0)f(x) =f(0) ,（此处用到连续的定义）
所以要有a= f(0) =φ'(0).
这道题的2,涉及到分段函数在分段点的导数应该从导数的定义求,
当x≠0,可以用导数的公式求出f '(x)=★,略,此处同lanlovelanlan的回答,
当x=0,用导数的定义求,
f '(0)=lim(x->0) [f(x)-f(0)] / (x-0)
=lim(x->0) [(1/x)*(φ(x) - cos x) -φ'(0)] / x
=lim(x->0) [φ(x) - cosx -xφ'(0)] / x^2
=lim(x->0) [φ'(x)+sinx -φ'(0)] / 2x （用洛必达法则）
=lim(x->0) [φ''(x)+cosx ] / 2 （再用洛必达法则）
=[φ''(0)+1] / 2 （此处用到“φ具有二阶连续导数”）
则这道题的2,所求
f '(x) =
★,当x≠0；
[φ''(0)+1] / 2,当x=0.
说明,这个题目的概念和方法方面确实都很强,
其中“φ具有二阶连续导数”是很强的条件,
还有条件“φ(0) = 1”,
在分析最初的极限lim(x->0)f(x)=lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x时就用上了,
方法方面,用到了分段函数在分段点的导数需要从导数的定义来求.
另外,以下录lanlovelanlan的回答作一点儿修改,注意▲处,
修改①,
“因为分母X已经趋向于0了,题目要求连续,就说明▲（导数）（极限）一定存在,所以分子必须趋向于0,等价代换是在正常情况下的代换,出现这种分母为0的情况,一定分子也趋向于0,不然▲（导数）（极限）不存在,然后再用罗比达法则.
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x = lim(x->0)（φ'(x）+sinx）/1= (φ'(0)+0)/1=φ'(0)
▲（导数）（极限值）与▲（值）（函数值）相等才连续 所以a=φ'(0)
修改②,
你加上这个条件更好解释 ,x趋于0的时候分母趋于0,分子1-1也是趋于0,0比0型▲（一定要用）（不一定用）罗比达法则.
修改③,
f'(x) =
[φ'(x)+sinx]x-(φ(x) - cos x)/(x^2) x=/=0
▲（0）（[φ''(0)+1] / 2） x=0