已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,求f(x)的解析式若x属于「-2,2」 求值域

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 06:41:03

已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,
求f(x)的解析式
若x属于「-2,2」 求值域

第一个问题:
∵f(x)=ax^2+bx,
∴f(1+x)=a(1+x)^2+b(1+x)、f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x).
依题意,有:f(1+x)=f(1-x),∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x),
∴a[(1+x)^2-(1-x)^2]=b[(1-x)-(1+x)],
∴a[(1+x)+(1-x)][(1+x)-(1-x)]=b[(1-x)-(1+x)],
∴2a×2x=-2bx,∴2a=-b,∴a=-(1/2)b.
∵f(x)=x的两根相等,∴ax^2+bx=x的两根相等,∴ax^2+(b-1)x=0的两根相等,
∴(b-1)^2-4a×0=0,∴b=1.
∴a=-(1/2)b=-1/2.
∴满足条件的函数解析式是:f(x)=-(1/2)x^2+x.
第二个问题:
对f(x)=-(1/2)x^2+x求导数,得:f′(x)=-x+1.
令f′(x)>0,得:-x+1>0,∴此时x<1.
令f′(x)<0,得:-x+1<0,∴此时x>1.
∴函数f(x)在[-2,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减.
又f(-2)=-(1/2)×4-2=-4、
 f(1)=-(1/2)×1+1=1/2、
 f(2)=-(1/2)×4+2=0.
∴f(x)在区间[-2,2]的值域是[-4,1/2].

因为f(x1+x)=f(1-x) 所以 f(x)关于x=[(1+x)+(1+x)]/2=1 对称
所以b/-2a=1 b=-2a 又因为 f(x)=x有两等根
。。。。。待续

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