若α β是锐角tanβ=sinα -cosα / sinα + cosα 求证sinα -cosα=根号2sinβ

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 00:58:56

若α β是锐角tanβ=sinα -cosα / sinα + cosα 求证sinα -cosα=根号2sinβ

α β是锐角
0 < sinα < 1,0 < sinβ < 1.
0 < cosα < 1,0 < cosβ < 1.
0 < tanβ.
tanβ = (sinα - cosα)/(sinα + cosα) = sinβ/cosβ,
sinα - cosα > 0,
1 > sinα > cosα > 0,
PI/4 < α < PI/2.
0 < sinα - cosα < sinα + cosα,
0 < tanβ < 1,
0 < β < PI/4.
0 > -β > -PI/4.
0 < α - β < PI/2.
sinαcosβ - cosαcosβ = sinαsinβ + cosαsinβ,
sinαcosβ - cosαsinβ = sinαsinβ + cosαcosβ,
sin(α - β) = cos(α - β)
α - β = PI/4.
β = α - PI/4.
sinβ = sin(α - PI/4) = sinαcos(PI/4) - cosαsin(PI/4)
= [sinα - cosα]/2^(1/2)
所以,
sinα -cosα = 2^(1/2)sinβ