作业帮本原元的概念,数学知识数域的本原元是啥
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 22:46:48
本原元的概念,数学知识
数域的本原元是啥
对于一个数或域GF(p)
本原元：
设本原元为a,则a^d=1(mod p) 成立,其中d=ψ(p) ψ(p)是欧拉函数
即：a^ψ(p)=1(mod p)
欧拉函数：对于正数n,少于或等于n的数中与n互质的数的个数
例如
p=7 则 ψ(p)=6
a=2时 a³=8=1(mod 7) 但是3不是ψ(7) 所以 a不是本原元
a=3时 a^6=1(mod 7) 此时 3就是本原元
一个域的本原元非唯一
先是阶的概念：模19下7的阶为3（7^1=7 mod 19,7^2=11 mod 19,
7^3=1 mod 19,7^4=7 mod 19....）
本原元的概念：若模n下a的阶d=φ(n)，a就是n的本原元（又称为原根）。此时a是Z*_n的生成元。[1]
本原元并不唯一（19本原元还有2，3，10，13，14，15）
不是所有的整数都有本...
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先是阶的概念：模19下7的阶为3（7^1=7 mod 19,7^2=11 mod 19,
7^3=1 mod 19,7^4=7 mod 19....）
本原元的概念：若模n下a的阶d=φ(n)，a就是n的本原元（又称为原根）。此时a是Z*_n的生成元。[1]
本原元并不唯一（19本原元还有2，3，10，13，14，15）
不是所有的整数都有本原元，应是这样的形式：2,3,p^a,2p^a(p为奇素数)
在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(α)的形式，即E可以由单个元素生成。
编辑本段定理
一个有限扩张E/F有本原元，即存在α使得E = F(α)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。
编辑本段推论
由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元
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