怎样判断函数f（x）=sinπx/（x2+1)(x2-2x+2)的对称性

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 14:31:35

若f(x)是对称函数,必然存在一个实数a使得
f(x)=f(a-x)
现在我们只要验证是否存在这样一个实数a使得下面的等式对定义域的x恒成立：
sinπx/（x2+1)(x2-2x+2）=sinπ(a-x)/((a-x)^2+1)((a-x)^2-2(a-x)+2)
可知道当a属于整数时
sinπx=sin（πa-πx）
下面验证分母的恒等（x各次项系数,常数项都相等）
分别展开等式左右两边的分母使得x各次项系数,常数项都相等,求取a（lz自己动手算吧）
若a是整数,则上述等式可以恒成立
即f（x）是对称的,且a/2为其对称轴

全部展开

若存在对称轴x=a
则
sinπx/（x2+1)(x2-2x+2）=sinπ(a-x)/((a-x)^2+1)((a-x)^2-2(a-x)+2)
由于sinπx的特殊性，它不能表达为x^4，x^3,x^2,x,1的组合，所以只能有
sinπx=sinπ(a-x)
所以sinπx-sinπ(a-x)=0
2cosπa/2sinπx/2=0
由于x任意，只有cosπa/2=0
a=2k-1,k∈Z
再看分母，(x2+1)(x2-2x+2）=((a-x)^2+1)((a-x)^2-2(a-x)+2)
x^4-2x^3+3x^2-2x+2=(a-x)^4-2(a-x)^3+3(a-x)^2-2(a-x)+2
展开移项后令x^3,x^2,x^1,常数的系数相等，可得，a=1
f(x)关于x=1对称

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怎样判断函数f（x）=sinπx/（x2+1)(x2-2x+2)的对称性函数f(x)=sin(x2)(-∞ 怎样判断函数f(x)=lg(sin x+根号1+sin x平方）的奇偶性,并证明怎么判断函数f(x)=sin(x2-x)是否有界,具体一点得判断函数奇偶性,1.f(x)=cos(2π - x )-x^3 *sin x2.f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx) 判断函数f(x)=x2+1/x 奇偶性. 设函数f(x)=1+x2/x,判断奇偶性 {x2+x x>0 f(x)={ {-x2+x x判断函数的奇偶性{x2+x x>0f(x)= {{-x2+x x 判断函数的奇偶性f(x)=（2x2+2x）/（x+1）判断函数F(X)=x2+1在（0,+∞）上是增函数还是减函数设函数f（x）=1+x2/1-x2求定义域,判断奇偶性并证明函数f(x)=根号3sinωx+cosωx(ω＞0）怎样变为f(x)=2sin(ωx+π/6）判断函数的奇偶性：f(x)=1/x2-1 判断函数f(x)=1/x2+1的奇偶性函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x属于R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值是判断下列函数的奇偶性f(x)=sin(cosx) 判断函数f（x）=log（根号下1+x2,+x）的奇偶性判断下列函数的奇偶性.f（x）=9－6x＋x2