作业帮求大神进一道难题曲线C是平面内到定点A(1,0)的距离与到定直线X=-1的距离之和为3的动点P的轨迹,已知B（a,1）则PA+PB最小值＿.答案用a表示
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 01:52:14
求大神进一道难题
曲线C是平面内到定点A(1,0)的距离与到定直线X=-1的距离之和为3的动点P的轨迹,已知B（a,1）则PA+PB最小值＿.答案用a表示
记d(P,a)为P到直线x = a的距离.由已知,有PA+d(P,-1) = 3.
而PA ≥ 0,故d(P,-1) ≤ 3,于是P在直线x = -4与x = 2之间.
于是当P在x = -1右侧,可知d(P,2) = 3-d(P,-1) = PA,
即P在以A为焦点,以x = 2为准线的抛物线上,方程为y² = 3-2x.
而当P在x = -1左侧,可知d(P,-4) = 3-d(P,-1) = PA,
即P在以A为焦点,以x = -4为准线的抛物线上,方程为y² = 10x+15.
如图所示.
设直线y = 1与曲线C交于Q1,Q2,可算得二者坐标为Q1(-7/5,1),Q2(1,1).
(1) 当-7/5 ≤ a ≤ 1时,B在Q1,Q2之间 (形如图中B1的位置).
对曲线左半段上的点P1,有P1A+P1B = P1D1+P1B ≥ BE1 = Q1E1+Q1B = Q1A+Q1B.
即在左半段上Q1到A,B的距离和最小,同理,曲线右半段上Q2到A,B的距离和最小.
因此曲线上的点到A,B的距离和的最小值等于BE1,BE2中的较小者,即a+4与2-a中的较小者.
当-7/5 ≤ a ≤ -1时,最小值为a+4,当-1 ≤ a ≤ 1时,最小值为2-a.
(2) 当a > 1时,B在Q2右侧 (形如图中B2的位置),线段AB与曲线相交.
由PA+PB ≥ AB = √(1+(a-1)²) = √(a²-2a+2).
当P为AB与曲线C的交点时,取得等号.故最小值就是√(a²-2a+2).
(3) 当a < -7/5时,B在Q1左侧 (形如图中B3的位置),线段AB与曲线相交.
由PA+PB ≥ AB = √(1+(a-1)²) = √(a²-2a+2).
当P为AB与曲线C的交点时,取得等号.故最小值就是√(a²-2a+2).
综上,当a < -7/5,a > 1时, 最小值为√(a²-2a+2).
当-7/5 ≤ a ≤ -1时,最小值为a+4,当-1 ≤ a ≤ 1时,最小值为2-a.