作业帮在△ABC中,已(a^2+c^2-b^2)/(a^2-c^2+b^2 )=(2a-b)/b,且c=2,若△ABC的面积为√3,求a、b的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:04:56
在△ABC中,已(a^2+c^2-b^2)/(a^2-c^2+b^2 )=(2a-b)/b,且c=2,若△ABC的面积为√3,求a、b的值.
在△ABC中,由余弦定理可得：
a^+b^-2ab*cosC=c^
a^+c^-2ac*cosB=b^
变形可得：
a^-c^+b^=2ab*cosC
a^+c^-b^=2ac*cosB
于是,已知条件中“(a^2+c^2-b^2)/(a^2-c^2+b^2 )=(2a-b)/b”的左侧就可以化为：
左边=(2ac*cosB)/(2ab*cosC)=(c/b)*(cosB/cosC)
在△ABC中,运用正弦定理可得：
c/sinC=b/sinB=a/sinA
于是可得：c/b=sinC/sinB,a/b=sinA/sinB
等式左边=(sinC/sinB)*(cosB/cosC)=(sinC*cosB)/(sinB*cosC)
而等式右边=(2a-b)/b=2a/b - 1=2*sinA/sinB -1=(2sinA-sinB)/sinB
于是,原等式左右两侧同时变为：
(sinC*cosB)/(sinB*cosC)=(2sinA-sinB)/sinB
∠B作为三角形的内角,其范围是0到180°,故其sin值不可能为0,于是可以将sinB约掉：
sinC*cosB/cosC=2sinA-sinB
sinC*cosB=2(sinA*cosC)-sinB*cosC
sinC*cosB+cosC*sinB=2sinA*cosC
sin(B+C)=2sinA*cosC
而在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
所以∠A=180°-(∠B+∠C)
于是有sinA=sin[180°-(B+C)]=sin(B+C)
将此式代入上式：
sinA=2sinA*cosC
(2cosC-1)*sinA=0
显然,sinA也不可能为0,于是可将sinA约掉,得到：
2cosC-1=0
cosC=1/2
显然,∠C=60°
sinC=√3/2
根据三角形的面积公式,可列出：
ab*sinC/2=√3
代入sinC=√3/2,可得出:
ab=4 ①
由余弦定理：
c^=a^+b^-2ab*cosC
代入c=2,cosC=1/2,ab=4的值：
a^+b^-2ab*(1/2)=2^
a^+b^=8
于是(a+b)^=a^+b^+2ab=8+2*4=16
a,b都是三角形的边长,一定大于0,所以有:
a+b=4 ②
结合①,②式,可知,a,b的值必为方程x^-4x+4=0的两个实根,解此方程得x1=x2=2
故,a=b=2
已知(a²+c²-b²)/(a²-c²+b²)=(2a-b)/b，
则(a²+c²-b²)/(a²-c²+b²) +1=(2a-b)/b +1，
得2a²/(a²-c²+b²)=2a/b,
得a²+b&su...
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已知(a²+c²-b²)/(a²-c²+b²)=(2a-b)/b，
则(a²+c²-b²)/(a²-c²+b²) +1=(2a-b)/b +1，
得2a²/(a²-c²+b²)=2a/b,
得a²+b²-c²=ab,
结合余弦定理a²+b²-c²=2ab·cos∠C,
得cos∠C=1/2， 则sin∠C=√3/2.
由S△ABC=1/2ab·sin∠C=√3， 得ab=4.
将ab=4、 c=2代入a²+b²-c²=ab中，得a²+b²=8.
解方程组：a²+b²=8、 ab=4, (a,b＞0).
得：a=b=2.
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