(tanx)^-1/2的原函数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:08:38

(tanx)^-1/2的原函数

令t=tanx,则dx=dt/（1+t²） ∫dx/√tanx=∫dt/（√t（1+t²））,再令t=u²,则dt=2udu,∫dx/√tanx=∫dt/（√t（1+t²））=2∫du/（1+u^4）= ∫[(u^2+1)-(u^2-1)]/（1+u^4）dx
= {∫(u^2+1)/(1+u^4) dx - ∫(u^2-1)/（1+u^4）dx }
= {∫(1+1/u^2)dx /（u^2+1/u^2） - ∫(1-1/u^2)dx/（u^2+1/u^2）}
= {∫d(u-u/x) /[(u-1/u)^2+2] - ∫d(u+1/u) /[(u+1/u)^2 -2] }
= { 1/√2 ∫d[(u-1/u) /√2] /{[(u-1/u)/√2]^2+1} - ∫d(u+1/u) /[(u+1/u)^2 -2] }
= { 1/√2 ∫d[(u-1/u) /√2] /{[(u-1/u)/√2]^2+1}
- 1/2√2 ∫d[(u+1/u) /√2] [ 1/{[(u+1/u)/√2] -1} - 1/{[(u+1/u)/√2] +1 }]
= √2/2*arctan[(u-1/u)/√2] - √2/4*ln|(u^2-u√2+1)/(u^2+u√2 +1)| + C
=√2/2*arctan[(√tanx-1/√tanx)/√2] - √2/4*ln|(tanx-√(2tanx)+1)/(tanx+√(2tanx) +1)| + C

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