设S是满足下列条件的实数所构成的集合：①0不属于S,1不属于S；②若a∈S,则1/1-a∈S.证明：（1）S不可能是单元素集合,也不可能是二元素集合,即S至少有三个元素；（2）S是一个三元素集合,且

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 16:58:24

设S是满足下列条件的实数所构成的集合：
①0不属于S,1不属于S；
②若a∈S,则1/1-a∈S.
证明：（1）S不可能是单元素集合,也不可能是二元素集合,即S至少有三个元素；
（2）S是一个三元素集合,且三个元素的乘积为-1.

(1)
首先,S不可能是空集,因为实数集是无限的,所以除了0,1之外,至少还有一个元素
反证法
假设,S元素只有1个.因为a∈S（a是实数）,则1/(1-a)∈S,所以 a = 1/(1-a),得a^2 -a + 1 =0,a无实数解,矛盾
假设,S元素只有2个,则a,1/(1-a)都∈S,根据题意1/[1 - 1/(1-a)]∈S,则要么有
a = 1/[1 - 1/(1-a)],要么有1/(1-a) = 1/[1 - 1/(1-a)]
对于1/(1-a) = 1/[1 - 1/(1-a)],可令1/(1-a) = b,(因为a≠1,所以b是实数),b=1/(1-b),此时b无实数解（可参考第一种假设）
对于 a = 1/[1 - 1/(1-a)],a - a/(1-a) = 1,a/(1-a) = a -1,a = -(a^2 -2a + 1),a^2 - a + 1=0,a无实数解
综上,a至少有三个元素
(2) 由(1)知a至少有三个元素,也就是a,1/(1-a),1/[1 - 1/(1 - a)]
化简:1/[1 - 1/(1 - a)] = 1/[-a/(1-a)] = (a - 1)/a = 1 - 1/a,所以必然有第四个元素：
1/[1 - (1 - 1/a)] = 1/[1/a] = a等于第一个元素
所以对于集合{a,1/(1-a),1 - 1/a}来说,只有三个元素（因为对于其中任何一个元素a,1/(1-a)都已经包含在内）
a * [1/(1-a)] * [1 - 1/a] = a * [1/(1-a)] * [(a - 1)/a] = -1

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（1）可用反证法。假设S是单元素集合，
因为a∈S，则1/(1-a)∈S，
则a=1/(1-a)，可化为a^2-a+1=0，此方程无解。与假设矛盾。所以S不是单元素集合。
假设S是二元素集合，
因为a∈S，则1/(1-a)∈S，
所以1/[1-1/(1-a)]=a 或 1/(1-a)，
解1/[1-1/(1-a)]=a，可化为 a^2-a+1=0，此方程无解；
解1/[1-1/(1-a)]=1/(1-a)，可化为a^2-a+1=0，此方程无解。
故假设不成立，所以S不是二元素集合
即得S至少有三个元素。
（2）因为a∈S，则1/(1-a)∈S，所以1/[1-1/(1-a)]∈S
1/[1-1/(1-a)]=(a-1)/a
所以1/[1-(a-1)/a]∈S，1/[1-(a-1)/a]=a，所以S有三个元素，分别为：a ，1/（1-a），(a-1)/a，三个数乘积为-1

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