高一三角形内心数学公式求证明!a OA + b OB +c OC = 0 (向量) 则有三角形AOB AOC BOC 的面积之比为 c : b :a o为内心 求解这是什么公式?怎么证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/30 03:41:36
高一三角形内心数学公式求证明!
a OA + b OB +c OC = 0 (向量) 则有三角形AOB AOC BOC 的面积之比为 c : b :a
o为内心
求解这是什么公式?怎么证明
O为三角形内任一点
且满足a×向量oA+b×向量oB+c×向量oC=向量0
所以:O为三角形的内心
证明如下:
记∠BAC的平分线与BC交于P
则向量BP=(c/(b+c)×向量BC
=(c/(b+c)×(向量OC-向量OB)
向量AP=向量AB+向量BP=向量OB-向量OA=向量BP]
=向量OB-向量OA+(c/(b+c)(向量OC-向量OB)
=(b/(b+c))向量OB+(c/(b+c))向量OC-向量OA
=(b向量OB+c向量OC)/(b+c)-向量OA]
=-(a+b+c)向量OA/(b+c)
∴AP与OA共线
O在AP上
同理,O在∠ABC,∠ACB平分线上
∴O为内心
三角形的内心到三边距离相等
易得面积之比
S△AOB :S△AOC:S△BOC =a:b:c
此题前一个条件a OA + b OB +c OC = 0 (向量)是莫须有的。
只要o为内心,那么必有三角形AOB AOC BOC在边AB、AC、BC上的高都是三角形ABC内切圆半径r,其面积之比当然就是AB:AC:BC=c:b:a了
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