图形与几何的特点

图形与几何的特点

图形与几何解题之关系及其教学上的应用
缮榜 撰
前言
「水能载舟亦能覆舟」这 话意味著一件事物固然有它美好的一面,当然也
有它 之处.相信这种道 无 用在 麼地方应该是可 的.几何图形对解题
而言亦是如此,学生在学习 学的过程当中,必须藉由图形的 解,以思 一些
学关系,定 等(Bishop, 宜臻译,民80).同样地,学生也有可能由於图
形的缘故,而妨碍他们的思考,或是作出错误的表现(Presmeg, 1986;引自Bishop,
谭 君译,民80).因此本报告的内容除 明图形在几何解题中之重要地位
外,还要以认知的观点 探讨学生是如何表徵这些图形,并且阐述图形是如何妨
碍学生的思考与解题,最后笔者再根据一些研究的成果,提出教学上因应的策 .
图形对几何解题的重要性
关於图形在几何学当中的地位,Usiskin(1982)曾经作 有关学校几何课程
困境的相关研究,在研究当中他把几何学分为四个面向(dimension):
面向一:几何是视觉化,画图及图形的建构.
面向二:几何是真实,物 世界的研究.
面向三:几何是表徵 学的或是其他 能以视觉或物 方式呈现的媒介.
面向四:几何是 学系统的一个范 .
从Usiskin对几何学所区分的四个面向 看,第一个面向就是图形有著密
可分的关系.并且在几何课程当中,教师教导学生几何的过程当中,常常 用图
形的呈现使学生 解几何概 ,关系.因此「画图」或是「构图」(construction)
就成为学生解几何问题及教师讲解几何概 时,当中一个重要的活动 .
图形对几何解题的重要性,可以从Polya(1957,阎育苏译,民80)的著作
当中窥知一二.这位著名一时的 学家认为图形 仅是几何问题的对象,而且对
於解所有各 问题 有很大帮助,既使起初看起 问题与几何无关(页83-84).
在他的著作当中,他举 许多「启思法」,当中有一项就是「画张草图」.因为
学生在解几何问题时,无法同时想像所有的细节,藉由画草图的方式,可以将
清题意,并且可考虑许多其他问题.
在传统的几何课程当中,证明是课程当中的核心,可是关於几何概 的学
习,并非局限於证明本身.Hoffer(1981) 积 一些教学经验,认为学生在课
堂中学习几何过程中,有五种技能是需要培养的;分别是:视觉技能,口语技能,
画图技能, 辑技能及应用技能.就画图技能而言,Hoffer认为几何课程当中应
该要提供学生 用图形表达自己的想法,并且从中发觉出一些几何关系.譬如当
学生 用「尺规作图」时,就能帮助学生 解图形的性质.对於Chazan(1995)
而言,他也抱持著相似的看法,在他研究当中学生藉由图形的探 ,而引发出学
生的一些猜想,归纳,对建构主义 这样的方式能够使学生主动地建构知 .
由此可知图形对学生本身建构知 的重要性.
到几何知 本身,学生在解决几何问题时,会经常回忆起几何知 .譬
如一些几何定 的回忆经常会伴随著几何图形想像;也就是当学生在学习定
时,他们经常会将一个特定的图形之讯息合并成 的一部份(Clements&
Battista, 1992).Lawson与Chinnappan(2000)的研究中就显示出学生在解几何
问题,回忆其所应用到的几何定 时,同时也会 想到定 所对应的图形.同时
缮榜(2000)的研究当中也显示出,当国中 学资优生在解尺规作图的题目时,
会受到先前题目图形的影响.这些研究的结果显示出学生解题 是受到先前经验
的影响,然而这些经验 是与图形有紧密的关 .试想学生在解几何题时,他们
回忆起的图形甚至藉由图形 解决问题,这样的知 取形式是否是一种心象
呢
心象与图形之关系
Wheatley(1998)做过一些研究,认为心象牵涉到下 三种活动,分别是建
心象,重新表徵心象及转换心象,其 明如下:
1. 建 心象(Constructing an image)
譬如当学生在瞬间看到一个几何图形时,我们要求他们把刚刚看到的
图形画出 ,在画的过程当中,他们就已经建 心象.然而在建 心象的
过程中,还会包含一些有关心象的性质及经验.因此心象的本质就视乎个体
先前的心智建构,意向及心象建 时的情境.
2. 重新表徵心象(Re-presenting the image)
一但心象建 之后,就 需要有意 地保 .当需要回忆起的时候,
心象会再次呈现.在学习 学的过程中,每个人 建 起属於自己的心象以
帮助问题解决及建构新的 学知 .这时候心象就会成为一个指引,在每个
人的脑中重新表徵.在许多时候心象重新呈现,事实上会变得 加 致.
3. 转换心象(Transforming the image)
一但心象建 ,并且重新表徵 ,这样它就能作一些转换.譬如将
一个二维或三维的几何图形作平移,旋转等操 .然而这个 程对於许多学
生 是比较困难的.
藉由这三个 程学生在解决几何问题的时候,所画的图自然是产生於先前
所建构的心象.同样地,当学生看到图形的时候,他们会个别地以自己的经验给
於图形意义(Wheatley&Reynolds, 1999).所以学生在解几何问题时,题目上所
给予的图形,学生会以既有的心象去和它相吻并合加以思考.而解题所应用的定
,当学生必须使用图形转译定 时,心象就成为思考及应用定 的指引
(Clements&Battista, 1992).在这 可 得图形与心象及学生解几何问题之间的
关系.
图形导致解题错误表现之探讨
从以上可以清楚地看到图形对几何解题的重要性,同时也可以推知学生在
解有图形的几何问题时,图形对於学生而言乃形成的内在表徵.然对教学上而
言,图形只是一个辅助的工具,而「画图」本身只是解决问题过程中的其中一个
步骤,并非所有能画图的学生就能够运用图形解题(Bishop, 宜臻译,民80).
图形本身有其局限性,甚至於图形会误导解题.为 麼会这样呢 笔者提出以下
三种可能的原因.
一,心象的妨碍
当学生回忆起定 的应用时,与之伴随的图形常常会限制定 的应用.就
运用的几何解题层面而言,学生解题错误往往是由於心象的缘故.譬如 在
Vladimirskii(1971, 引自Clements&Battista, 1992)的研究结果中指出学生在面
对几何 述所伴随的图形,并 总是在推 方面有帮助的. 由如下:
1. 学生可能把一些和概 相关的讯息引入在推 当中.
2. 视觉心象可能造成僵化记忆(知 ).
3. 可能造成迷思概 .
同样地,Presmeg(1986, 引自Bishop,谭 君译,民80)在他的研究报告
中指出,透过视觉学习时所遭遇的困难如下所示:
1. 视觉或图形的一个具体现象可能与其他 相关的因素相 结,或者甚至
於提供错误资 .
2. 标准图形的心象可能导致具体思考的僵化,而阻碍 去 解非标准图形
(nonstandard diagram)
3. 某一些 可控制的心象,可能阻碍 丰富的思考方向.
4. 假如心象 能与思考分析相吻合,则这个心象也变得没 麼助 .
由学习层面 看,学生会因为心象的缘故导致解题失败,追究其原因则是
当初伴随几何概 的图形,使得学生在建 心象时,引入其他的讯息或是思考僵
化的现象.这是图形影响学生错误解题的其中一个原因.
二,预备 够
以上有谈 到Hoffer(1981)认为在几何学方面要会运用五项基本的技能,
分别视觉,口语,画图, 辑及应用等技能.而在画图方面的技能,Hoffer(1981)
认为课程当中 用直尺,圆规等作图工具能够 解图形的性质.同时他 用van
Hiele的几何发展学习 ,将画图技巧区分为以下五个层次:
1.认 期(recognition):画个草图 确地标明各个给定部分.
2.分析期(analysis):将口语的资讯转换成图案;或给定一些图形的某些性
质,去画出图形的 .
3.排序期(ordering):给定一些图形,能够作和给定图形有关的图形.
4.演绎期(deduction):知道何时及如何在一个图形上加辅助元素(辅助线,
辅助图形等);或是能够从给定的资讯中推导出如何画或作一个特殊的图
形.
5.严密期(rigor): 解 同作图工具的限制及功能.
Hoffer根据van Hiele的几何发展学习 区分出这五个画图的层次,这是
就学生本身学习而言的.因为van Hiele的几何发展学习 和Piaget的 一
样有其阶段性,当学生在一个层次尚未达到 熟程 ,是很难进 到下一个层
次.虽然van Hiele所提出的几何发展学习 为后 的人所批评,但笔者认为
就认知的层面 ,Hoffer所界定的画图技能应有其循次渐进的步骤.因此学生
在解几何问题时,或许能够依照题意能画出符合题意的草图,但由於无法从给定
的资讯 用自己所画的图形去推导,使得解题发生错误.像这样的情形可能是由
於学生并 熟悉自己所画之图形的一些几何性质.因此笔者认为 用画图技巧解
决问题的确需要拥有一些该图形的几何知 .
三,图形的错误引导
关於图形的错误引导部分,乃笔者今 研究中其中一个研究发现结果.笔
者研究的对象乃是国中 学资优生,该研究是因应一个几何课程而设计的.图形
的错误引导在与笔者同期的研究生黄明 的研究当中,亦有 似的发现.在这
就以笔者的研究发现作一番 述.
笔者的研究在该几何课程当中是属於「尺规作图」的部分,但该研究并未
提及太多教学效 的部分,反而是著重在学生在「尺规作图」单元中的学习.笔
者在研究当中发现 学生解作图题发生错误其中有一部份是与图形有关.笔者将
这样的现象归纳为「图形的错误引导」部分,当中还细分 草图的错误引导,给
定图形的错误引导以及求作图形的错误引导( 缮榜,2000).其 明如下:
1. 草图的错误引导是由於学生在解作图题当中所画的草图,使得学生作出
错误的反应.学生为 解出作图题,画 一个包含已知以及未知图形的
草图,由於在画草图的过程当中发生 一些谬误,导致解作图题中发生
错误.
2. 给定图形的错误引导是由於学生 用题干上所给定的已知图形当中之
有部分图形的特殊位置—譬如平面上有一P点,在视觉上「看似」在
条直线的分角线上,而题干上只是 P点为平面上任意点, 用这样的
关系导致作图发生错误.学生就只是图形在视觉上的谬误,而导致他们
在解题时发生错误.
3. 求作图形的错误引导是由於学生对求作之几何图形性质 熟悉的缘
故,使得学生未能想出解题策 完成解题.
相信学生因为图形的缘故而发生错误 型, 只是以上笔者所 举的这些
情形. 过可以肯定的是,学生的确是因为图形的缘故而导至知 僵化,解题错
误,并且由於画图技巧的预备 够的情况下,使得图形未能帮助学生学习几何
知 ,几何解题.但是由前面笔者 明图形对於几何课程占有 可或缺的地位
看,图形对於教师讲解几何概 ,定 及解题,以及对学生学习几何概 及解几
何问题有相当大的助 .那麼教师要如何避开图形所带给学生 的妨碍,而撷
取 用图形 解几何概 的优点,计划课堂上的教学呢
教学上的因应与总结
从以上得知图形对於学生解几何问题之 与弊之后,回归到课堂上,教师
要作 麼样的教学措施呢 笔者对此提出三项建议.
一, 辑的 系
有些人或许会质疑,在解几何题的过程当中,图形要画得很 确,还是随
手近似画画 Polya(1957,阎育苏译,民80,页85)认为虽然一个 确的图
形或许会造成错误的结 ,但是只要把注意 集中於「 辑的 系」,这样就
会有 麼危险 .对笔者而言,所谓「 辑的 系」就是学生要能检验自己学生
所得出的结果是正确的.Scheffler(1965, p3, 引自Chazan, 1995)认为一图形能
够好得用 描述一个几何定 ,但它始终 能够对定 形成一个证明,尽管 用
测 技术对图形作最佳的近似估 ,也 能被视为提供证明定 真确性的证据.
对几何证明而言,正如Scheffler所 的, 能 用图形的形式呈现一个证
明,而是要以 辑演绎的方式加以证明,这是从欧几 得几何以 一直所强调
的.同样的道 在课堂当中一定强调证明的重要性.而对於尺规作图而言,以演
绎的方式证明自己所作的图是正确的, 能够使学生 解几何性质.对於其他几
何问题 ,教师可采用一题多解以及避免使用特殊图形的方式教导学生.在教
师讲述的过程中,避免使用特殊图形的方式教导,这是避免由特殊的图形推导至
一般的图形,而违反 辑顺序.采一题多解的方式,除 能使学生从 同的面
向 解图形的几何性质外,还可以让学生学习检验结果的正确性.笔者认为藉由
以上方式的教学,能够增加学生本身 辑的 系.
二,鹰架的提供
关於鹰架的提供,Polya(1957,阎育苏译,民80,页41)也有著 似的看
法,只是Polya以「辅助问题」的术语呈现他的想法.Polya希望教师藉由辅助
问题提供,让学生通过这样的一个问题帮助他们解决另一个问题.在笔者的研究
当中也有这样的设计,该研究当中当学生未能独 地解决作图问题时,笔者从旁
提供一个辅助问题让学生去解,并且使学生 解该辅助问题的解法,藉此让学生
解决原 的作图问题( 缮榜,2000).然而研究的结果显示研究中「辅助问题」
真的对学生解原 的作图问题有帮助. 似的情况在Lawson及Chinnappan
(2000)的研究当中,当学生在解一个几何问题时,研究者所提供的「暗示」对
於学生 结几何知 有所助 .
从以上的研究当中可 得「鹰架」的功能.在教学上,教师可以 用辅助
问题的观点帮助学生建构图形的概 ,藉由画草图的训 及讲述图形之几何性质
的方式,帮助学生一步步地建 起解题基模.
三,教学时呈现 确的图形
这项建议乃笔者在 文口试时,邱守榕教授所提出一些她的观点,在此笔
者作统合性的呈现.
尽管学生在解题的过程当中,无 所画的图形 确与否以及最后能否帮助
解题,教师在教学的过程当中所呈现的图形也要以合 ,真实的方式呈现在学生
面前.譬如长 有著固定比 的图形,当呈现在学生眼前时,教师总 能以差距
极大的比 误导学生.又譬如教师示范解几何题时,题干上大小一样大的圆,当
画在黑板上时,教师总 能画大小 同的圆吧!哪些地方该直的就 能够画成曲
的,方的图形就 能变成圆的图形.有些人会质疑这样有 麼好处 在Chazan
(1995)的研究当中指出,这样的方式可帮助学生作一些猜想, 解一些几何性
质,关系,只是在学生猜想过后要作进一步的验证.除此之外,教师在教导几何
概 的过程中,可避免学生产生迷思概 .
笔者在此仅提供三点教学上的建议以供在校教师 考.关於其他有关图
形,心象与解几何问题之间的关系及其教学上的建议,则有待进一步的研究.
考文献
Bishop, A. J.( 宜臻译,民80). 学的视觉面.科学教育月刊,145,2-7.
Bishop, A. J.(谭 君译,民80). 学视觉化教育的文献分析.科学教育月
刊,145,8-17.
缮榜(2000).国中 学资优生尺规作图表现之探讨.台 市:国 台湾
师范大学硕士 文(未出版).