锐三角形ABC中,求证：tanA*tanB*tanC 〉1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 06:43:38

锐三角形ABC中,求证：tanA*tanB*tanC 〉1

很简单
证明：已知三角形ABC是锐角三角形,为了不失一般性不妨令0则,可以得到A至少不小于π/3,即A≥π/3,否则如果A<π/3,则,B,C中必定会出现大于A的情况,这就与所令矛盾了
根据三角形内角和为π
则tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
(这个结论可以用两角和的正切展开式再根据tanπ=0,得到)
设三个角A,B,C分别对应边a,b,c
根据余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc*cosA),cosB,cosC同理可得到
根据正弦定理的面积表达,三角形ABC的面积S=(1/2)absinC=(1/2)acsinB
=(1/2)bcsinA
则tanA*tanB*tanC=tanA+tanB+tanC
=sinA/cosA+sinB/cosB+sinC/cosC
=2bcsinA/(b²+c²-a²)+2acsinB/(a²+c²-b²)+2absinC/(a²+b²-c²)
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
取b²+c²-a²,a²+c²-b²,a²+b²-c²的最大者,不妨设b²+c²-a²最大
b²+c²-a²=2bccosA=2bc√[1-(sinA)²]=√[b²c²-4S²]
根据前面所得结论A≥π/3
2S=bcsinA bc=2S/sinA≤4S/√3
这样b²+c²-a²=√[b²c²-4S²]≤2S/√3
故tanA*tanB*tanC
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
≥12S[1/(b²+c²-a²)]
≥12S(√3/4S)
=3√3>1
所以tanA*tanB*tanC>1

锐三角形ABC中,求证：tanA*tanB*tanC 〉1 已知三角形ABC 中, a tanA+ b tanB=(a+b)tan[(A+B)/2], 求证三角形ABC 是等腰三角形.可以把计算过程写出来吗? 在三角形ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 在三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 在斜三角形ABC中,求证：tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC. 在斜三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC 在斜三角形中ABC,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC在斜三角形中ABC,求证tanA+tanB+tanC=tanA乘tanB乘tanC 在三角形ABC中,tanA+tanB+tanC=3*√3,tan^B=tanA*tanC,则∠B等于? 在三角形ABC中tanA=1.tanB=2求tan(A+B)的值 在三角形abc中,tan（A＋B）＝3tanB,则tanA的最大值 三角形abc中,求证:tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1RTRTRTRTRTRT 在三角形ABC中,求证：tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanA/2tanC/2=1 在三角形ABC中,求证：tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanA/2tanC/2=1 求证：三角形ABC中tan(A+B)+tan(B+C)+tan(C+A)=1明天期末考, 在斜三角形ABC,中.求证tanA+tanB+tanc等于tanatanbtanc 在三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC≥3√3 在斜三角形ABC中 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 已知在三角形ABC中,aCOSB-bcosA=1/2c,求证tanA=3tanB