作业帮Z变换中求画出幅度响应和画出幅频响应特性曲线的区别如何求幅度响应请最好举例论证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 01:26:37
Z变换中求画出幅度响应和画出幅频响应特性曲线的区别
如何求幅度响应请最好举例论证
首先分析离散时间系统在指数序列 （ ）输入下的响应.设系统是因果的,单位样值响应为 ,根据卷积公式,响应
（4.6-1）
上式花括号中的项为 在 处的值,设 存在,于是
（4.6-2）
该式说明,系统在指数序列输入条件下,响应也为指数序列,其权值为 .
若取 ,也即 （ ）,则有
（4.6-3）
由于输入序列的计时起点为负无限大,按式（4.6-3）求得的响应应该是有始输入 的稳态解.一般为复数,可用幅度和相位表示为
（4.6-4）
于是,输出为
（4.6-5）
该式表明,系统引入的幅度改变因子为 ,相位改变量为 .
若输入为正弦序列
（4.6-6）
则输出
（4.6-7）
其中
在以上推导过程中,要求 必须存在,也即 的收敛域必须包含单位圆,或者说 的全部极点要在单位圆内.
当输入由两个不同频率的复指数序列的线性组合构成时,由线性系统的叠加性质,其输出为相应输出的线性组合,即
其中 和 可以是复数.
随频率 的变化称为离散时间系统的频率响应.称为幅度函数,而 称为相位函数.由于 为 的周期函数,周期为 ,因而 也是 的周期函数.
例如,若系统函数
设a为实数,,则频率响应函数为
幅度函数和相位函数分别为
按以上两式绘出的幅频特性和相频特性如图4.6-1所示,它们均是周期的.
(a)幅频响应 (b)相频响应
图4.6-1 频率响应
当 为实序列时,由z变换定义式
与 成共轭关系,则有
（4.6-8）
（4.6-9）
即幅度函数是频率的偶对称函数,而相位函数是频率的奇对称函数,考虑到它们都是以 为周期的,故在 范围内,幅频特性以 为中心对称,相频特性以 为中心奇对称,见图4.6-1.因此,在绘制离散时间系统的频率特性时,只需要绘出 范围内的频响曲线.
根据系统函数的极零点分布,也可以通过几何作图方法简单而直观地绘出离散系统的频率响应,这与连续系统中频率响应的几何作图类似.考虑仅有一个极点和一个零点的系统函数
用 置换z,频率响应为
参看图4.6-2,从极点指向 点的矢量称为极点矢量,从零点指向 点的矢量称为零点矢量.当 从0到 变化时,点沿单位圆移动,极点矢量和零点矢量随着发生变化.当 离极点比较近时,极点矢量的模 相对较小,幅度函数则较大,当 离零点比较近时,零点矢量的模 相对较小,幅度函数也相对较小.按这种方法,可粗略地绘出幅频特性.
图4.6-2 频率响应的几何绘制
例4.6-1 试绘制 的幅频响应和相频响应.
解 ,,的极零点分布如图4.6-2所示.当 时,极点矢量的模最小,在该频率传递函数的幅度最大,可计算出
随着 的增加,极点矢量的模增大,而零点矢量的模减小,因而幅度函数不断变小；在 处,极点矢量最大,零点矢量最小,因而幅度函数最小,其值为
幅频响应如图4.6-3(a)所示.
相频响应也可用几何作图的方法绘出,对每一频率,它等于零点矢量的辐角减去极点矢量的辐角,相频响应如图4.6-3(b)所示.
(a) (b)
图4.6-3 的频率响应
例4.6-2 传递函数 ,试定性绘制幅频响应.
解 传递函数的极点和零点分别为 ,,如图4.6-4(a)所示.可求出
当 从0开始增加时,如图4.6-4(b)所示,幅度为
随着 的增加,和 增大,而 和 减小,极点 离 点最近,它起主导地位,由于 随 增加而减小,因而幅度的总趋势增大；当 增加到图4.6-4(c)位置时,非常小,幅度达到极大值；随着 的继续增加,越来越小,当 时,点位于零点上,故幅度为零；当 进一步增加时,如图4.6-4(d)所示,和 减小,而 和 增大,零点 离 点最近,起主导地位,由于 随 增加而增大,则幅度的总趋势不断增加；在 处,可求出
幅频响应如图4.6-5所示.
(a) (b)
(c) (d)
图4.6-4 频率响应的几何确定
图4.6-5 幅频响应