一道高中数学题 三角恒等变换已知cos（π/4-α）=3/5,sin(5π/4+β)=-12/13, α∈（π/4,3π/4) β∈（0,π/4）求sin（α+β）的值?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 18:03:24

一道高中数学题 三角恒等变换
已知cos（π/4-α）=3/5,sin(5π/4+β)=-12/13, α∈（π/4,3π/4) β∈（0,π/4）求sin（α+β）的值?

因为 α∈（π/4,3π/4),所以π/4-α∈（-π/2,0),sin(π/4)<0,因此由cos（π/4-α）=3/5可知sin（π/4-α）=-4/5;同理,因为β∈（0,π/4),所以5π/4+β∈（5π/4,3π/2),cos(5π/4+β)<0,从而由sin(5π/4+β)=-12/13 可知cos(5π/4+β)=-5/13. 因此
sin(α+β）
=-sin(π+α+β）
=-sin(5π/4+β-(π/4-α)) (用和差化积公式)
=-sin(5π/4+β)cos(π/4-α)+cos(5π/4+β)sin(π/4-α)
=-(-12/13)*(3/5)+(-5/13)*(-4/5)
=56/65
因此sin（α+β）=56/65.

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