关于连续函数定积分的比较定理问题!急求数学高人解答!为什么连续函数比较定理中的条件是 在闭区间连续,且f(x)小于等于g(x),结论就为f(x)在区间内的积分“小于”g(x)在区间内的积分,求知道
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/21 10:01:24
关于连续函数定积分的比较定理问题!急求数学高人解答!
为什么连续函数比较定理中的条件是 在闭区间连续,且f(x)小于等于g(x),结论就为f(x)在区间内的积分“小于”g(x)在区间内的积分,求知道,为什么结论不是“小于且等于”呢?何解啊!大侠来帮忙~~~~~~~~~~~
从函数图像来看会比较容易理解
我们知道,函数定积分∫f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形及两条曲线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和
因为f(x)小于等于g(x),所以f(x)的图像在g(x)图像的下方(其中有若干点重合,但不是所有点全部重合.否则f(x)=g(x).)
所以x轴、函数f(x)的图形及x=a,x=b围成的面积 < x轴、函数g(x)的图形及x=a,x=b围成的面积
即∫f(x)dx
构造函数g(x)=f(x)-f(x+a) 则g(1)+g(a)=f(1)-f(a)+f(a)-f(8a)=f(1)-f(8a)=1 所以g(1)g(a)=g(1)(-g(1))=-(g(1))^8<=1 因此,存在x1,(x1在[1,a]),使g(x1)=1,即f(x1)=f(x1+a)
小于了,怎么能且等于呢?对于你说的问题,前提一定是 f(x)与g(x)非同一函数,即存在某点x1使得f(x1)不等于g(x1),按照定理此时f(x1)小于g(x1),总的积分当然就小了。
提问者:我有些不懂你的意思,Hi baidu 聊天吧。
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还是关于连续函数定积分比较定理~你说的那个图形分析,我就是在想,毕竟f(x)有等于g(x)的情况,所以积分图形也会有重合的情况,为什么最后的结论只有小于,没有等于呢?
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