任意四边形的面积公式的推导谁能告诉我任意四边形的面积公式S=1/2mn*sinα（m,n为对角线长,α为对角线夹角.）是如何推导出来的.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 07:08:48

任意四边形的面积公式的推导
谁能告诉我任意四边形的面积公式S=1/2*m*n*sinα（m,n为对角线长,α为对角线夹角.）是如何推导出来的.

假设四边形为ABCD,对角线AC=m,BD=n,对角线夹角为α,由sin（180°-α）=sinα,我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα,
因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD,
而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB；
S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC；
S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD；
S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD；
左右两边相加,得：
S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD
=0.5sinα（OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD）
=0.5sinα[OB*（OA+OC）+OD*（OA+OC）]
=0.5sinα（OA+OC）*（OB+OD）
=0.5sinα*m*n
=1/2*m*n*sinα
即四边形的面积为1/2*m*n*sinα

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