一道数学证明题,(图自己画下,3Q!)在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,点E是BC上任意一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,求证:BD=EF+EG!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/08 12:06:45
一道数学证明题,(图自己画下,3Q!)
在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,点E是BC上任意一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,求证:BD=EF+EG!
中学教材全解上面有的
(简单点,把△ABC的面积写成ABC)
连接AE,则
ABC
=1/2· AC· BD ①
ABC
=ABE+ACE
=1/2· AB· EF+1/2· AC· EG
=1/2· AC· EF+1/2· AC· EG
=1/2· AC· (EF+EG) ②
由①②,得BD=EF+EG
证明:连接AE
∵BD⊥AC
∴S△ABC=AC×BD/2
∵EF⊥AB
∴S△ABE=AB×EF/2
∵EG⊥AC
∴S△ACE=AC×EG/2
∵S△ABC=S△ABE+ S△ACE
∴AC×BD/2=AB×EF/2+ AC×EG/2
∵AB=AC
∴BD=EF+EG
过E点做一条AC的平行线交BD于M,交AB于N,先证明BEN是等腰三角形。
EMDG是矩形(对边互相平行,且有一角是直角)
所以,EG=MD
再证BEF和BEM全等,(直角三角形斜边相等,且一个锐角相等)
所以,EF=BM
所以EF+EG=BM+MB=BD
连接AE
由题意可知:
S△ABC=S△ACE+S△ABE
AC▪BD▪1/2=AC▪GE▪1/2+AB▪EF▪1/2
∵AC=AB
∴AC▪BD▪1/2=AC▪GE▪1/2+AC▪EF▪1/2
AC▪BD▪1/2=1/2▪AC(GE+EF)
∴BD=GE+EF
(用的是等面积法)
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