作业帮考研数学题：积分区域为球体的三重积分.利用极坐标系.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 13:24:36
考研数学题：积分区域为球体的三重积分.利用极坐标系.
首先求积分的时候他是按整个球体求的（注意不是半球）,θ是x轴正方向的夹角,ψ是z轴正方向的夹角,x^2+y^2+z^2=r^2,明显r的范围是0~R,
然后又求积分,它把积分区域当成对称了,先认为z没有确定,然后可以把它当成（1+2+3）倍的X^2的三重积分,也就是（1+2+3)1/3倍的x^2+y^2+z^2的三重积分,由于z只有上半轴,所以再乘以1/2
最后是ψ是z轴正方向的夹角,然后r^2≤rcosψ,所以r的范围就是那样的
你可以和直角坐标系下的二重积分相比较一下，这样会更好的理解。如果您还有。也是让这条线段以原点为中心在被积区域内旋转，求它长度的最大值。有
积分是在整个球体上进行时，用了轮换对称性，则x^2，y^2，z^2的积分是相等的，所以被积函数转化为x^2+y^2+z^2了。接下来的球面坐标中，因为积分区域是整个球体，圆心在区域内部，根据三个积分变量的几何意义，θ的范围是0到2π，φ的范围是0到π，r的范围是0到球面半径R。这个可以直接套用。
教材上应该是有注明：当积分区域是球体，且原点在球体内部，则θ的范围是0到2π，φ的范围是0到π...
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积分是在整个球体上进行时，用了轮换对称性，则x^2，y^2，z^2的积分是相等的，所以被积函数转化为x^2+y^2+z^2了。接下来的球面坐标中，因为积分区域是整个球体，圆心在区域内部，根据三个积分变量的几何意义，θ的范围是0到2π，φ的范围是0到π，r的范围是0到球面半径R。这个可以直接套用。
教材上应该是有注明：当积分区域是球体，且原点在球体内部，则θ的范围是0到2π，φ的范围是0到π，r的范围是0到r(φ,θ)，其中r=r(φ,θ)由球面方程确定，本题中即为R。
第二题中在球体在整个xoy面上的上方，φ是范围只有一半，0到π/2。r的范围确定是从原点作射线，找它与球面的交点，很明显，一个是原点r=0，一个在球面上r=cosφ
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