有关数学调和点列性质的证明问题设A、B、C、D依次在一直线上, 若下列命题中任意两个为真, 则第三个也对: ⑴A、B、C、D成调和点列; ⑵XB是∠AXC的内角平分线; ⑶XB⊥XD.这个
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/06 04:08:27
有关数学调和点列性质的证明问题
设A、B、C、D依次在一直线上,
若下列命题中任意两个为真, 则第三个也对:
⑴A、B、C、D成调和点列;
⑵XB是∠AXC的内角平分线;
⑶XB⊥XD.
这个要怎么证明。、
就比如说四个点构成了调和点列,也构成了上述所需的图形,则如何说明内外角平分线即垂直
同学说这个相似那个相似,一下就糊涂了。
麻烦讲清楚些。。谢谢。。
首先来推一个引理:
对于任意一三角形ABC,然后做一条射线AD
如图一,根据正弦定理
∵CD/sinα=AC/sin∠ADC
BD/sinβ=AB/sin∠ADB
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴sin∠ADB=sin∠ADC
∵CD/BD=ACsinα/Absinβ
同理还可以推到:
AD*sinβ/AC*sin(α+β)=BD/BC
我来正(1)(2)推(3)好了,其它很容易得到
然后把这个引理用到图二中去:
对于三角形AXC
因为是角平分线,所以容易知道
BC/AB=XC/XA
在三角形AXD中
CD/AD=XC*sinβ/XA*sin(2α+β)
∵调和点列
∴AB*CD=AD*BC
∴AB/BC=AD/CD
∴BC/AB= XC*sinβ/XA*sin(2α+β)=XC/XA
所以sinβ=sin(2α+β)
从这个式子很容易得到α+β=90°
就得证了.
有关数学调和点列性质的证明问题设A、B、C、D依次在一直线上, 若下列命题中任意两个为真, 则第三个也对: ⑴A、B、C、D成调和点列; ⑵XB是∠AXC的内角平分线; ⑶XB⊥XD.这个
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