作业帮如图,已知在直角梯形哦OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD垂直于BC,交OA于点D,将角DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.（1）求经过A,B,C3点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 17:02:27
如图,已知在直角梯形哦OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD垂直于BC,交OA于点D,将角DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.（1）求经过A,B,C3点的抛物线和解析式.（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时,求CF的长.（3）连接EF,设三角形BEF与三角形BFC的面积之差为S,问：当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
（1）由题意可得A（0,2）,B（2,2）,C（3,0）,
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,
则 c＝2 4a+2b+c＝2 9a+3b+c＝0 ,
解得 a＝−2 3 b＝4 3 c＝2 ；
∴抛物线的解析式为y=-2 3 x2+4 3 x+2；
（2）设抛物线的顶点为G,
则G（1,8 3 ）,过点G作GH⊥AB,垂足为H,
则AH=BH=1,GH=8 3 -2=2 3 ；
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH；
∴GH是△BEA的中位线,
∴EA=2GH=4 3 ；
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,
∴FM=EA=4 3 ；
∵CM=OC-OM=3-2=1,
∴CF=FM+CM=7 3 ；
（3）设CF=a,则FM=a-1,
∴BF2=FM2+BM2=（a-1）2+22=a2-2a+5,
∵△EBA≌△FBM,
∴BE=BF,
则S△BEF=1 2 BE•BF=1 2 （a2-2a+5）,
又∵S△BFC=1 2 FC•BM=1 2 ×a×2=a,
∴S=1 2 （a2-2a+5）-a=1 2 a2-2a+5 2 ,
即S=1 2 （a-2）2+1 2 ；
∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时,S最小值=1 2 ．