A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 20:33:49

设n阶对称阵A=(a[i][j]),其中a[i][j]=a[j][i],且a[i][i]均为偶数,n为奇数
因为A的行列式为所有乘积±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的和,其中
i[1],i[2],...,i[n]是1,2,...,n的一个排列,±号取决于排列的奇偶性
当存在ik=k时,a[k][ik]为偶数,∴此时±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]为偶数
当不存在ik=k时,考虑a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的对称项
a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n],由于n为奇数,所有这两项是不同项
这是因为若二者相同,∵ik≠k,∴a[ik][k]∈{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}\{a[k][ik]}
这样{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}中的数刚好可以两两配对,即n为偶数,矛盾
又由于A对称,∴a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n]=a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]
∴考虑它们的代数和±a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n] + (±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in])
若±号相同,显然结果为偶数,若±号相异,则结果为0,也为偶数
∴通过这样的配对之后,可知A的行列式可以分成这样若干个偶数之和
即A的行列式一定也是偶数

奇数个根，和（迹）为偶数，其中必有偶数，积（行列式）就一定为偶数。

A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数假定n阶实对称矩阵A是严格对角占优的且所有对角元素大于零试证A一定是对称正定矩阵设A是3阶实对称矩阵,且各行元素之和都是5,则A必有特征向量? 求助：设A是3阶实对称矩阵,且各行元素之和都是5,则A必有特征向量? 设A是3阶实对称矩阵,且各行元素之和都是5,则A必有特征向量? 实对称矩阵是所有元素都是实数的对称矩阵码? 设a,b都是整数,证明:若ab是整数,则a和b都是奇数全程命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是关于线性代数的问题：已知A是3阶矩阵,且所有元素都是-1,则A^4+2A^3= 设A是n阶矩阵,并且A是可逆的,证明：如果A与A的逆矩阵所有元素都是整数,则A的行列式是-1或1 (1/2)6题命题＂能被7整除的整数都是奇数〃的否定是 A所有能被7整除的数都不是奇数 B所有的奇数不能...(1/2)6题命题＂能被7整除的整数都是奇数〃的否定是A所有能被7整除的数都不是奇数B所已知M,N,L都是整数,且M+N/2,N+L/2,L+M/2中有一个数是整数.那么整数M,N,L的情况是()A.一个奇数两个偶数 B.一个偶数两个奇数 C.三个都是奇数 D.三个都是偶数设AB 都是整数,证明：若AB是奇数,则A和B都是奇数.证明详细点. 设A是n阶矩阵,并且A是可逆的,证明：如果A与A的逆矩阵所有元素都是整数,则A的行列式是-1或1因为 A和A^-1的元素均为整数所以 |A|,|A^-1| 都是整数又因为 AA^-1 = E所以 |A||A^-1| = |E| = 1所以 |A|,|A^-1| 求证对任意整数a,b,a+b为奇数当且仅当只有其中一个整数a或b为奇数当a+b为奇数,怎证明其中一个整数a或b为奇数? 一道关于矩阵的证明题设A为可逆矩阵,且A的元素全为整数,证明：A的逆矩阵中所有元素也全为整数的充要条件是|A|=+1或-1. 所有奇数都是素数. 用反正法证明：“方程ax²＋bx＋c＝0,且a,b,c,都是奇数,则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根x°为?A:整数 B:奇数或偶 C:整数或负整数 D:自然数或负整数