2012北京门头沟区2012年高三年级抽样测试一摸理数第八题立体几何题怎么做?正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为2根号2 ,AA1=2 ,点M 是BC 的中点,P 是平面A1BCD1 内的一个动点,且满足PM

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2012北京门头沟区2012年高三年级抽样测试一摸理数第八题立体几何题怎么做?
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为2根号2 ,AA1=2 ,点M 是BC 的中点,P 是平面A1BCD1 内的一个动点,且满足PM

分别取AA1、A1B、D1C、DD1的中点E、F、G、H
则矩形ADD1A1中,EH上的点到A1D1 和AD 的距离相等；
且EF、GH分别是△ABA1、△DCD1的中位线
∴EF⊥AA1,GH⊥DD1,∴平面EFGH⊥平面ADD1A1
∴平面EFGH上所有点在平面ADD1A1上的射影为EH
即：平面EFGH上所有点到A1D1 和AD 的距离都相等.
显然,平面EFGH与平面A1BCD1相交的棱为FG
∴P应为FG上的动点.
在FG上取两点L、N,使LM=NM=2,
则线段LN上的点满足PM<=2,即：P的轨迹为线段LN.
取FG的中点P',因M 是BC 的中点,∴P'M⊥FG
∴P'也是等腰△LMN底边LN的中点
因AB=2√(2),AA1=2,∴A1B=√(8+4)=2√(3),∴FB=P'M=√(3)
∴直角△LMP'中,LP'=1,
∴LN=2×LP'=2,即：点 P的轨迹的长度为2
∴选 D

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