作业帮求和（x+1/x)^2+(x^2+1/x^2)^2+.+(x^n+1/x^n)^2的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 01:48:44
求和（x+1/x)^2+(x^2+1/x^2)^2+.+(x^n+1/x^n)^2的值
求和（x+1/x)²+(x²+1/x²)²+.+(xⁿ+1/xⁿ)²的值
原式=(x²+x⁴+.+x²ⁿ)+(1/x²+1/x⁴+.+1/x²ⁿ)+2n
=x²(x²ⁿ-1)/(x²-1)+(1/x²)(1-1/x²ⁿ)/(1-1/x²)+2n
=x²(x²ⁿ-1)/(x²-1)+(1-1/x²ⁿ)/(x²-1)+2n
=[x^(2n+2)-x²+1-1/x²ⁿ]/(x²-1)+2n
=[x^(4n+2)-x^(2n+2)+x^2n-1]/[x²ⁿ(x²+1)]+2n
(x^k+1/x^k)^2=x^(2k)+1/x^(2k)+2 ,k=1,2,3,.....n
原式=.....=x^2+x^4+x^6+......+x^(2n)+1/x^2+1/x^4+1/x^6+......+1/x^(2n)+2n (等比数列）
讨论x=1或-1时
原式=4n
当x不等于1和-1时
由于sn=x^2+x^4+x^6+......+...
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(x^k+1/x^k)^2=x^(2k)+1/x^(2k)+2 ,k=1,2,3,.....n
原式=.....=x^2+x^4+x^6+......+x^(2n)+1/x^2+1/x^4+1/x^6+......+1/x^(2n)+2n (等比数列）
讨论x=1或-1时
原式=4n
当x不等于1和-1时
由于sn=x^2+x^4+x^6+......+x^(2n)是等比数列的前n项和，公比=x^2
sn=(x^2-x^(2n+2)/(1-x^2)
同理tn=1/x^2+1/x^4+1/x^6+......+1/x^(2n)=的公比是1/x^2
只要将sn中的x换成是1/x就是tn
tn=(1/x^2-1/x^(2n+2))/(1-1/x^2）
加起来就行了，
注意分情况讨论
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原式=(x^2+x^4+......x^2n)+2n+(1/x^2+1/x^4+.........+1/x^2n)
=[x^2(x^2n-1)/(x^2-1)]+2n+[(1/x^2)(1/x^2n-1)/(1/x^2-1)]