作业帮已知等比数列{an},公比为q,|q|不等于1,比较大小:(a3)^2+(a7)^2和(a4)^2+(a6)^2如何比较阿?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 12:41:38
已知等比数列{an},公比为q,|q|不等于1,比较大小:(a3)^2+(a7)^2和(a4)^2+(a6)^2
如何比较阿?
M=a3^2+a7^2=(aq^2)^2+(aq^6)^2=a^2q^4(1+q^8)
N=a4^2+a6^2=(aq^3)^2+(aq^5)^2=a^2q^4(q^2+q^6)
(M-N)/(a^2q^4)=1+q^8-(q^2+q^6)=q^2(q^6-1)-(q^6-1)
=(q^2-1)(q^6-1)=(q^2-1)(q^2-1)(q^4+q^2+1)
=(q^2-1)^2(q^4+q^2+1)>0
所以m>n
(a3)^2+(a7)^2=a^2q^4+a^2q^12=a^2q^4(1+q^8)
(a4)^2+(a6)^2=a^2q^6+a^2q^10=a^2q^4(q^2+q^6)
a^2q^4>0
1+q^8-(q^2+q^6)
=1-q^2+q^8-q^6
=q^6(q^2-1)-(q^2-1)
=(q^2-1)(q^6-1)
=(q^2-1)...
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(a3)^2+(a7)^2=a^2q^4+a^2q^12=a^2q^4(1+q^8)
(a4)^2+(a6)^2=a^2q^6+a^2q^10=a^2q^4(q^2+q^6)
a^2q^4>0
1+q^8-(q^2+q^6)
=1-q^2+q^8-q^6
=q^6(q^2-1)-(q^2-1)
=(q^2-1)(q^6-1)
=(q^2-1)^2(q^4+q^2+1)
|q|不等于1
所以(q^2-1)^2>0
q^4+q^2+1>0
所以1+q^8-(q^2+q^6)〉0
又a^2q^4>0
所以a^2q^4(1+q^8)〉a^2q^4(q^2+q^6)
所以(a3)^2+(a7)^2>(a4)^2+(a6)^2
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