求证:连接三角形内切圆切点的三角形的面积与原三角形面积之比等于原三角形内切圆半径与外接圆直径之比
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/27 09:13:28
求证:连接三角形内切圆切点的三角形的面积与原三角形面积之比等于原三角形内切圆半径与外接圆直径之比
已知:标记外△ABC,△ABC外接圆直径为D.△ABC内接圆圆心为O,半径为r.圆O与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F.
连接OD、OE、OF、DE、EF、FD,则△DEF为圆O内接三角形.△ABC面积为S1,△DEF面积为S2,AB长度为c,BC长度为a,AC长度为b.
求证:S2/S1=r/D
证明:
(1)
S1=S△AOB+S△BOC+S△COA=cr/2+ar/2+br/2=r(a+b+c)/2
(2)
在四边形ADOF中,∠ADO=∠AFO=90°,故∠DOF=360°-∠ADO-∠AFO-∠A=180°-∠A
所以sin∠DOF=sin(180°-∠A)=sin∠A
同理,sin∠DOE=sin∠B,sin∠EOF=sin∠C
(3)
S2=S△DOE+S△EOF+S△FOD=1/2*r*r*sin∠DOE+1/2*r*r*sin∠EOF+1/2*r*r*sin∠DOF
将第(2)步结果代入,得S2=1/2*r*r*(sin∠A+sin∠B+sin∠C)
(4)
由正弦定理,得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=D
代入第(3)步中,得S2=1/2*r*r*(a/D+b/D+c/D)=1/2*r*r*(a+b+c)/D
将(4)式两边同除以(1)式两边,得S2/S1=[1/2*r*r*(a+b+c)/D]/[r(a+b+c)/2]=r/D
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由三角形内切圆半径和三边相关比例,求三角形面积.△ABC 的内切圆的切点为分别为P(AB 上的切点),Q(BC 上的切点),R(CA 上的切点),分别将AB,BC,CA划分成两个线段,且有一个比例关系:m1:n1,m
下图,圆o是三角形ABC的内切圆,切点分别是DEF,且FG垂直DE于G,求证:DG/EG=BF/CF
圆O是Rt三角形ABC的内切圆 DEF为切点 DE延长线与AC延长线交于G 求证 BD=CG
三角形ABC中,D,E,F分别是内切圆的切点,过点F作FP垂直DE,求证角DBP=角ECP
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