作业帮线性代数第六题, 简明扼要的写清楚过程哦!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 01:19:46
线性代数第六题,
简明扼要的写清楚过程哦!
选C
A^{-1}+B^{-1} = A^{-1}(1+AB^{-1}) = A^{-1}(B+A)B^{-1}
证明：[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
=[A^(-1)+B^(-1)AA^(-1)]^(-1)
={[E+B^(-1)A]A^(-1)}^(-1)
=A[E+B^(-1)A]^(-1)
=A[B^(-1)B+B^(-1)A]^(-1)
=A[(B^(-1)(B+A)]^(-1)}
=A[(A+B)^(-1)]B
下面是另一种思路
[本来A'表A的转置,但是我们为了书写方便A'在本回答中代表A的逆!]
将线性代数的逆运算与初高中的倒数相结,也就是A'=1/A,看能得到什么
则(A'+B')'=((A+B)/AB)'=AB/(A+B)=AB(A+B)'
注意到这里用到了AB=BA,注意矩阵要特别强调,数乘自然满足交换律
此处我们得到第一个结论,当AB=BA时,所求为AB(A+B)'.
当AB与BA不相等时,找不到一个合理的表达式来表示所求.
因为A'+B'=A'(E+AB'),所以原则上要知道E+AB'的逆才能知道所求,而同理(E+AB')=(B+A)B'
所以A'+B'=A'(A+B)B' 运用求逆的脱衣原则得所求为B(A+B)'A