求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/17 05:15:33

D_D_fly说得太简略了,“若不能被半径为R的圆覆盖,则闭曲线形成的图形满足某一方向上长度超过2R”这一句是很不明晰的,而且由此也不能简单地推出原命题,没那么显然.按照D_D_fly的思路,我想可以这样具体化：
设此闭曲线为Ω.
在平面上任选一个方向,沿这一方向作直线a,使a与Ω相切.（Ω与直线a相切可以这样定义：直线a将平面分成两部分,使其中的一部分没有Ω中的点,并且直线与Ω有公共点.）
同样,我们也可以做平行于a的直线b,使b与Ω相切.并且Ω在a与b的异侧.这也就保证了Ω在a与b中间.
由于Ω是一个周长有限的闭曲线,所以a和b都是存在的.（感觉上也是唯一的,不过不必证明它）
下面说明a与b的距离不大于2R.若不然,则存在点
P1 ∈ a ∩ Ω,
P2 ∈ b ∩ Ω,
使得|P1P2| > 2R.
但是P1,P2 ∈ Ω,从而经过P1,P2两点的闭曲线Ω周长必大于4R,矛盾!这就证明了a与b的距离不大于2R.
然后由a,b方向的任意性,我们就证明了在任一方向上Ω都在距离2R以内的两直线之间.
下面我不大会说明了……怎么继续构造出这个圆呢?不过不远了吧.

若不能被半径为R的圆覆盖，则闭曲线形成的图形满足某一方向上长度超过2R（圆的直径），而现在限定闭曲线周长为4R，它长度的极限是2R，所以必然会被覆盖。

求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖若圆O的半径为R,求证:AC平方+BD平方=4R平方圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图扇形的圆心角为a,求证：a=360*r/l 在半径为R的圆内,长为R的所对的圆周角为一直半径分别为R,r.(R大于r)的两圆外切,两条外公切线的夹角为x,求证 sinx=4(R-r）根号Rr除以(R+r)的平方thank you~ 已知半径分别为R,r(R>r)的两圆外切,两条外公切线的夹角为a,求证sina=4(R-r)乘以根号下rR的乘积/(R+r)^2 已知半径分别为R.r,R>r的两圆外切,两条外公切线的夹角为A,求证 sinA=4(R-r)^Rr/(R+r)2 已知半径为R,r的两园外切（R大于r）两条外公切线的夹角为a,求证：sina=4（R-r）(√Rr)/(R+r)∧2 已知三角形ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,求证:2Rr=abc/a+b+c 均匀分布电荷密度为p的球体,半径为R,中间挖去一个半径为r的小球,求证空腔内电场处处为0?为什么对称时可以用高斯定理已知直角三角形的斜边长为c,两直角边为a,b.内切圆半径为r试借助于三角形的面积,求证.求证：r=(a+b-c)/2 已知圆O的半径为R,则垂直平分半径的弦长为多少已知圆O的半径为R,则垂直平分半径的弦长为多少在半径为R的圆中,垂直平分半径的弦长为多少? 已知直角三角形的两边长为a,b,斜边长为c,求证：其内切圆半径r等于1/2（a+b-c) 现有一块草坪,长为20米,宽为2米,要在横中心线上放置半径为R的喷水装置,每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数R的圆被湿润,这有充足的喷水装置i个,并且一定能把草坪全部湿润, 半径为R的球的内接正四面体的棱长为__；体积为__ 以R,r为半径的两圆互相外切,P为切点到外公切线的距离为d.求证1/R+1/r=2/d