作业帮集合与建议逻辑一题求解释．已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B)．规定：U(A,B)≠U(B,A)．当集合U＝{1,2,3,4,5}时,所有的U(A,B)的组数是(
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 05:10:48
集合与建议逻辑一题求解释
．已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B)．规定：U(A,B)≠U(B,A)．当集合U＝{1,2,3,4,5}时,所有的U(A,B)的组数是( )
分析重点：
1、互斥事件：不可同时发生的几个事件；
所以,“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件 的意思是：“x∈A”与“x∈B” 至少有一个为假.
2、x ：x 是表示 U 中元素的变量.所以虽然没有明说,但题目的意思是：对 U 中的任意元素 x,若…则…；
综合 1、2 可知,所谓 “互斥” 的等价条件就是：A、B 交集为空.
3、U(A,B)：
这其实就是 A、B 的一个 “集合对”,而且是二者有先后顺序的.当然,在这个记法中,A、B 不能是任意的集合,它们必须满足 “交集为空”.
于是,原问题就变成了：求已知集合 U 的所有 “非空真子集”中,两集合“交集为空” 的 “集合对” 的个数.
这其实是一个排列组合问题.基本思路是：分步法,分两步依次构造两个集合A、B.
已知：U = {1,2,3,4,5},所以：
根据 “非空真子集” 的条件,可知：A、B 的元素个数只能是：4；
根据 “交集为空” 的条件,可知：第一步中,A 的元素可以任意选取；但第二步中,B 只能在 “剩余” 的元素中,任意选取；
因为 A 的元素个数的不确定,对 B的选取方案有影响,所以在分步的基础上,还要进行分类处理.即,分别考虑A中元素个数为 1、2、3、4 时的情况.而且,这四种情况下选取方案的计算是有一般公式的：
S(i) = C( 5 ,i ) * [ 2 ^ ( 5 – i ) – 1 ]；
（注：C(m,n) 表示从 m 个中任选 n 个的组合数）
上式表示：第一步,A 任意选择 i 个元素；第二步,B 在剩余的 5 – i 个元素中,任选 “非零个” 元素.
当 i 从 1 取到 4 ,A、B 的所有组合就都得到了.于是,本题最终的答案是：
S = ∑(i = 1,4) S(i) ； （表示 i 分别取 4 时,所有的 S(i) 之和）
= ∑(i = 1,4) ( C( 5 ,i ) * [ 2 ^ ( 5 – i ) – 1 ] )；
= 180