作业帮等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a,现在把它们拼合起来,E是AD上异于A、D两点的一动点,F是CD上的一动点,满足AE+CF=a.随着E、F的移动,三角形BEF的形状改变吗?试说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 16:22:49
等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a,现在把它们拼合起来,E是AD上异于A、D两点的一动点,F是CD上的一动点,满足AE+CF=a.随着E、F的移动,三角形BEF的形状改变吗?试说明理由.
随着E、F的移动,三角形BEF的形状不会改变,始终是等边三角形
∵⊿ABD与⊿CBD是等边三角形
∴∠A=∠BDF=60° AB=DB=a
∵AE＋CF=a 而CF＋DF =CD=a
∴AE=DF
∴⊿ABE≌⊿DBF﹙SAS﹚ ∴BE=BF ∠ABE=∠DBF
又∵∠ABE＋∠DBE=∠ABD=60°
∴∠DBF＋∠DBE=60°即∠EBF=60°
∴⊿BEF是等边三角形
由于AE+CF=a，故ED＝CF，由于BD=BC＝a，角EDB=角FCB＝60度，所以三角形BDE与BCF全等，则BE＝BF，角EBD＝角FBC。
由于角CBD＝60度＝角FBC＋角DBF＝角EBD＋角DBF＝角EBF＝60度，BE=BF，故三角形EBF为正三角形，与E、F点的具体位置无关。但由于E、F运动时，BE、BF的长度会发生变化，故BEF始终为正三角形，但尺寸为发生变化。...
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由于AE+CF=a，故ED＝CF，由于BD=BC＝a，角EDB=角FCB＝60度，所以三角形BDE与BCF全等，则BE＝BF，角EBD＝角FBC。
由于角CBD＝60度＝角FBC＋角DBF＝角EBD＋角DBF＝角EBF＝60度，BE=BF，故三角形EBF为正三角形，与E、F点的具体位置无关。但由于E、F运动时，BE、BF的长度会发生变化，故BEF始终为正三角形，但尺寸为发生变化。
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结论：△BEF为等边三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，BD=BC,∠BCF=∠BDE=60°，DE=CF
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形．
绝对正确 、