一道有关分式的竞赛题求方程“(1+1/n)的(n+1)次方=(1+1/2006)的2006次方”的所有整数解.n=-2007的确正确,但能否给出解法来证明唯一性?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/04 04:37:34
一道有关分式的竞赛题
求方程“(1+1/n)的(n+1)次方=(1+1/2006)的2006次方”的所有整数解.
n=-2007的确正确,但能否给出解法来证明唯一性?
若n为正数.
则n+1/n的(n+1)次方=2007/2006的2006次方.
则n+1的n+1次方:n的n+1次方=2007的2006次方:2006的2006次方.
显然矛盾!
若n为负数.
则-((n-1)/n)的(-n+1)次方=2007/2006的2006次方.
则-(n/(n-1))的(n-1)次方=2007/2006的2006次方.
所以-n-1=2006
所以n=-2007
整数解只有一个
n = - 2 0 0 7
怎么说呢?
首先判定n的绝对值在2006附近
在根据(1+n)^n的单调递增性和(1+n)^(n+1)的单调递减性
可以判定在正整数范围内没有整数解(实际连分数解与无理数解都没有)
然后在-2006附近找答案,一般的过程都是分析加猜想,然后自己验证,再说竞赛题目是允许这样的(只要是选择或填空题目)...
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整数解只有一个
n = - 2 0 0 7
怎么说呢?
首先判定n的绝对值在2006附近
在根据(1+n)^n的单调递增性和(1+n)^(n+1)的单调递减性
可以判定在正整数范围内没有整数解(实际连分数解与无理数解都没有)
然后在-2006附近找答案,一般的过程都是分析加猜想,然后自己验证,再说竞赛题目是允许这样的(只要是选择或填空题目)
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一道有关分式的竞赛题求方程“(1+1/n)的(n+1)次方=(1+1/2006)的2006次方”的所有整数解.n=-2007的确正确,但能否给出解法来证明唯一性?
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