作业帮D是CB的中点,E是AD的中点,求2AF=FB
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/30 09:17:26
D是CB的中点,E是AD的中点,求2AF=FB
这是一个常见问题的变化形式：
已知AD是△ABC的边BC上的中线,F为AB上一点,CF交AD于点E,求AE∶ED=2AF∶FB
证明：
过D作DG//AB交CE于G
因为DG//AB
所以AE∶ED＝AF∶DG
因为CD＝BC/2,DG//AB
所以DG∶FB＝CD∶BC＝1∶2
所以FB＝2DG
所以AE∶ED＝AF∶DG＝2AF∶2DG
所以AE∶ED＝2AF∶FB
在本题中,再加上下面的过程即可：
因为E是AD的中上点
所以AE∶ED＝1
所以2AF∶FB＝1
所以2AF＝FB
当然不用这个常见问题一样能证明.方法也很多.
过点D作DM‖CF，交AB于点M
∵E是AD的中点
∴EF是△ADM的中位线
∴AF=FM
∵D是CB的中点
∴DM是△BCF的中位线
∴FM=BM
∴FM=BM=AF
∴2AF=FB
用CF截三角形ABD
由梅涅劳斯定理
AF/FB×BC/CD×DE/EA=1
带入各个边的关系就可以知道2AF=FB
附梅涅劳斯定理的证明：
AF/FB=S(ACE)/S(BCE)
BC/CD=S(BCE)/S(CDE)
DE/EA=S(BDE)/S(AEB)
把它们3个乘在一起，得S(ACE)/S(AEB)*S(BDE)/S(CDE...
全部展开
用CF截三角形ABD
由梅涅劳斯定理
AF/FB×BC/CD×DE/EA=1
带入各个边的关系就可以知道2AF=FB
附梅涅劳斯定理的证明：
AF/FB=S(ACE)/S(BCE)
BC/CD=S(BCE)/S(CDE)
DE/EA=S(BDE)/S(AEB)
把它们3个乘在一起，得S(ACE)/S(AEB)*S(BDE)/S(CDE)=CD/DB*DB/CD=1
然后就得证了
收起
延长AD至G 使AD=DG,连接BG。
三角形ACD全等于三角形BDG，
有角G=角CAD
所以三角形AFE相似于三角形GBE
剩下就好解决了
证明：过D作AB的平行线交CF于G 过D作CF的平行线交AB于H
∵E为AD中点 ∴AE=DE
∵AB‖GD ∴GD=AF
∵GD‖AB HD‖CF ∴四边形GDHF为平行四边形 ∴GD=FH
∵D为BC中点 GD‖AB ∴G为CF中点
∴CG=CF=DH ∴三角形CDG≌三角形DBH
∴HB=GD ∴BF=2GD ...
全部展开
证明：过D作AB的平行线交CF于G 过D作CF的平行线交AB于H
∵E为AD中点 ∴AE=DE
∵AB‖GD ∴GD=AF
∵GD‖AB HD‖CF ∴四边形GDHF为平行四边形 ∴GD=FH
∵D为BC中点 GD‖AB ∴G为CF中点
∴CG=CF=DH ∴三角形CDG≌三角形DBH
∴HB=GD ∴BF=2GD ∴BF=2AF
即2AF=FB 原命题得证。
收起
连接DF,BE
可以知道,CDE面积=BDF面积设他们的面积都为a
还可以知道ACE面积=CED面积=BED面积，设他们为b
所以BEF面积为2a-2b
AEF=DEF=a-b，
所以BEF=2AEF，bf=2af
看不懂可以问我！