作业帮求混合偏导数与求导次序无关的定理的证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:25:00
求混合偏导数与求导次序无关的定理的证明
我自己认为有一个方法
用二重积分,设f(x,y)连续
F(x,y)=(上限x,下限a)∫ds(上限y,下限b)∫f(s,t)dt
由于上下限相对s,t来说是常数,因此积分次序可以交换
所以F(x,y)=(上限y,下限b)∫dt∫(上限x,下限a)f(s,t)ds
对F(x,y)求混偏导,混偏导就是f(x,y)
然而这个混偏导相等的条件是混偏导连续,刚好f(x,y)连续就可积
所以可以将混偏导连续的函数看作是一个以上形式的二重积分.
我的理解就这些,我也问了老师,他们说他们都忘了.
google一下
http://www.google.com/search?q=%E6%B7%B7%E5%90%88%E5%81%8F%E5%AF%BC%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%B1%82%E5%AF%BC%E6%AC%A1%E5%BA%8F%E6%97%A0%E5%85%B3&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:zh-CN:official&client=firefox-a
没搞错吧？直接看书不是更方便？混合偏导数与求导次序无关的充要条件与二次极限和二重极限相等的充要条件相同，都是要求一次极限在该点的临域存在且连续。证明过程略……
这个比较难证明，实质证明出来就是克莱罗定理。你考研吧？其实这个命题可以直接用，不用深究，貌似得用Matlab研究。 详见维基百科图片：
可以用导数的定义证明。。。其实很简单
f(x)'=lim(f(x+a)-f(x))/a, (a~0)
记方程f(x,y)的偏导为fx, fy, fxy, fyx.也就是
fx=[f(x+dx,y)-f(x,y)]/dx
fxy={[f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)]/dx-[f(x+dx,y)-f(x,y)]/dx}/dy
fxy={f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)-f(x+dx,y)+f(x,y)}/dxdy
同理可求fyx, 最终fxy=fyx