已知函数f(x)=ln(2x+a)-x的平方(a属于R),(1)若f(x)在区间《1/2,1》是增函数,求a的值(2)函数f(x)的图像是否存在一条切线y=2x?若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/19 07:19:48
已知函数f(x)=ln(2x+a)-x的平方(a属于R),(1)若f(x)在区间《1/2,1》是增函数,求a的值
(2)函数f(x)的图像是否存在一条切线y=2x?若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由
(1)
f(x)=ln(2x+a)-x²
f'(x)=2/(2x+a)-2x
∵f(x)在(1/2,1]上为增函数
∴x∈(1/2,1]时,f'(x)≥0恒成立
即2/(2x+a)≥2x
2x+a≤1/x
a≤1/x-2x恒成立
设g(x)=1/x-2x,x∈(1/2,1]
则a≤g(x)min
g'(x)=-1/x²-20
还需a>-2x恒成立
∵-2x∈[-2,-1)
∴a≥-1
∴a=-1
(2)
设函数f(x)的图像存在一条切线y=2x
设切点为P(m,n)
f'(x)=2/(2x+a)-2x
那么
{n=2m ①
{f'(m)=2/(2m+a)-2m=2 ②
{n=ln(2m+a)-m² ③
②==> 1/(2m+a)=m+1
==> 2m+a=1/(m+1)
①③==>ln(2m+a)=m²+2m
∴m²+2m+ln(m+1)=0 (*) (m>-1)
当m>-1时,h(m)=m²+2m+ln(m+1)为增函数
又h(0)=0
∴方程(*)的解为m=0
∴a=1
函数f(x)的图像存在一条切线y=2x,
此时a=1
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