怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数第二，请给出严格的证明第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:49:16

怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数
第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数
第二，请给出严格的证明
第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理数，有无穷多个无理数，

证明：设这两个有理数为a,b,且a

证明:
1) 往证(a,b)之间包含一个有理数c.
令x=b-a>0
根据实数定义的阿基米德公理,存在一个整数n>1/x,所以x>1/n.
不妨设b>0,(否则考虑区间(-b,-a),其中-a>0)
则存在整数k>0, 使得b小于或等于k/n,设h是满足b小于或者等于h/n的最小整数.
则(h-1)/na(否则1/n大于...

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证明:
1) 往证(a,b)之间包含一个有理数c.
令x=b-a>0
根据实数定义的阿基米德公理,存在一个整数n>1/x,所以x>1/n.
不妨设b>0,(否则考虑区间(-b,-a),其中-a>0)
则存在整数k>0, 使得b小于或等于k/n,设h是满足b小于或者等于h/n的最小整数.
则(h-1)/na(否则1/n大于或等于(b-a),与n的定义矛盾)
所以,(h-1)/n为(a,b)内的有理数.
注:由于(a,b)之间包含一个有理数c,则(a,c)之间也包含一个有理数d,依次类推,(a,b)之间包含无穷
个有理数.
2) 往证(a,b)之间包含无穷个无理数.
大家知道有理数集是可数的,而(a,b)是不可数的,所以(a,b)内的无理数集肯定是不可数的
也即有无穷多个.
证毕.

收起

像圆周率是小数但就不是有理数

很简单你就证明一个数小数点后有无穷个数就好了

如何证明无理点具有稠密性?即数轴上两个任意无理点间一定存在无穷多个无理点 怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数第一，小数点后有无穷位数并不意味着它就是无理数第二，请给出严格的证明第三，将命题推广一下，怎样证明两个实数之间有无穷多个有理 如何证明任意两个有理数之间存在无限多个有理数啊 举例说明：任意两个整数之间只能有有限个整数,而任意两个有理数之间都有无限个有理数. 有理数具有稠密性?书上说有理数具有稠密性即在任意两个有理点之间有无穷多个有理点,我不是很懂额,还有,书上说'有理点在书上是处处稠密的', 证明:对于任意两个有理数,一定存在着介于这两个有理数之间的有理数. 证明：任意两个有理数之间必有一个无理数（别举特例啊） 两个数学的基本证明题.求各给两种证法.(尽量详细)1.证明无理数比有理数多.2.证明素数有无穷多个. 举例说明:任意两个有理数之间有无限多个有理数.对于整数,有类似的性质吗?即：任意两个整数之间有无限多个整数吗?为什么? 证明:两个不相等的有理数之间必有有理数 数学证明题,证明两个有理数之间定有一个有理数的存在,如何证明两个有理数之间定有一个有理数的存在?若 a/b 证明两个无理数之间必有一个有理数 数学问题 证明：任何两个有理数之间都存在无限个有理数. 已知任意两个费马数互素,如何由此推出素数有无穷多个 关于——数学分析——实数——证明 《微积分学教程》的一道题,定理：对于不论怎样的两个实数a及b,其中a>b,恒有一个位于它们中间的有理数r:a>r>b,并且这种有理数有无穷个.证明 ：设给定两 如何证明素数有无穷多个? 证明素数有无穷多个 证明有无穷多个质数