作业帮设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A 2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 17:59:38
设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}
1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A
2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由
1）
证明：设x1=a1+b1*根号2,x2=a2+b2*根号2 (a,b系列均为有理数),所以x1+x2=(a1+a2)+(b1+b2)*根号2,由有理数线性运算的封闭性,得：a1+a2,b1+b2均为有理数,所以x1+x2属于A；
x1*x2=(a1+b1*根号2)(a2+b2*根号2)=(a1*a2+2b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)*根号2,同上,得：x1*x2属于A.
2）
结论：是的
证明：设y1=a1+b1*根号2,y2=a2+b2*根号2(a,b系列均为有理数,y2非零)
所以y1/y2=(a1+b1*根号2)*(a2-b2*根号2)/[(a2)^2-2(b2)^2]
={(a1*a2-2b1*b2)/[(a2)^2-2(b2)^2]}+{(a2*b1-a1*b2)*根号2/[(a2)^2-2(b2)^2]}
因为a1*a2-2b1*b2 , [(a2)^2-2(b2)^2],
a2*b1-a1*b2均为有理数且[(a2)^2-2(b2)^2]非零,
根据一个有理数与另一个非零有理数之商亦为有理数,
得：{(a1*a2-2b1*b2)/[(a2)^2-2(b2)^2]}与(a2*b1-a1*b2)/[(a2)^2-2(b2)^2]均为有理数,
所以y1*y2属于A.
x1 = a + b√2, x2 = c + d√2，则
(1)
x1 + x2 = (a+b) + (c+d)√2 ∈ A；
x1x2 = (ac+2bd) + (ad+bc)√2 ∈ A.
(2)
x1/x2 = (a+b√2)/(c+d√2) = (a+b√2)(c-d√2)/(c²-2d²)
= (ac-2bd)/(c&...
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x1 = a + b√2, x2 = c + d√2，则
(1)
x1 + x2 = (a+b) + (c+d)√2 ∈ A；
x1x2 = (ac+2bd) + (ad+bc)√2 ∈ A.
(2)
x1/x2 = (a+b√2)/(c+d√2) = (a+b√2)(c-d√2)/(c²-2d²)
= (ac-2bd)/(c²-2d²) + [(bc-ad)/(c²-2d²)]√2 ∈ A.
A就是数域Q(√2)，它对加减乘除法都是封闭的。
收起
没分做个头啊