已知函数fx(x^2-2x)e^kx在(负无穷,-根号2)和【根号2,正无穷)上递增在【-根号2,根号2】上递减求实数k

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/31 02:25:40

已知函数fx(x^2-2x)e^kx在(负无穷,-根号2)和【根号2,正无穷)上递增
在【-根号2,根号2】上递减
求实数k

由题知,f(x)=(x²-2x)e^kx
在(-∞,-√2]和[√2,+∞)上递增,在[-√2,√2]上递减.
(1)对f(x)求导得
f'(x)=(2x-2)e^(kx)+(x²-2x)ke^(kx)
=(kx²+(2-2k)x-2)e^(kx)
由题知x=±√2时,
f'(x)=0,即kx²+(2-2k)x-2=0,
所以,代入得k=1

f= (x^2-2x)e^kx
f‘=(2x-2)e^kx+k(x^2-2x)e^kx=(kx^2-2kx+2x-2)e^kx
由于在(负无穷,-根号2)上递减和【根号2,正无穷)上递增
故kx^2-2kx+2x-2=0有两根±√2
解得k=1

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