一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:20:06

一道数学题,求讲解!
四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心

点A在平面BCD上的射影是H,则BH⊥CD,AH⊥CD,则CD⊥平面ABH,从而CD⊥AB.同样有AC⊥BD,AD⊥BC.设点B在平面ACD上的射影为G,则BG⊥CD,AB⊥CD,所以,CD⊥平面ABG,即AG⊥CD,同理有CG⊥AD,DG⊥AC,所以G为三角形ACD的垂心.

朋友，这是显而易见的呀！明天告诉你吧！今天太晚了。

证明：E是点A在平面BCD上的射影，那么BE⊥CD，AH⊥CD
那么CD⊥平面ABE，从而CD⊥AB。
同样AC⊥BD，AD⊥BC。
设点B在平面ACD上的射影为F，则BF⊥CD，AB⊥CD，
所以，CD⊥平面ABF，即AF⊥CD，同理有CF⊥AD，DF⊥AC，所以F为三角形ACD的垂心。

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