证明：x^2+y^2-8z=6没有整数解.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/31 16:57:16

证明：x^2+y^2-8z=6没有整数解.

证明：假设存在整数解,即存在正数a,b,c满足方程x^2+y^2-8z=6.
则：a^2+b^2=8c+6
=2(4c+3).
于是,a^2,b^2奇偶性相同.则:a,b奇偶性相同.
（1）a,b都是偶数,于是存在整数,m,n使得：a=2m,b=2n.
则：a^2+b^2=4m^2+4n^2
=2(4c+3).
则：2(m^2+n^2)=4c+3,即：一个奇数等于另一个偶数,矛盾；
（2）a,b都是奇数,于是存在整数,m,n使得：a=2m-1,b=2n-1.
则：a^2+b^2=4m^2-4m+1+4n^2-4n+1
=4[m(m-1)+n(n-1)]+2
=8c+6
则：m(m-1)+n(n-1)=2c+1.
由m,m-1使相邻整数,n,n-1是相邻整数,则：m,m-1必有一个是偶数,n,n-1必有一个是偶数.于是：m(m-1)+n(n-1)是偶数,而2c+1是奇数,此等式不成立,矛盾.
综上：假设不真,方程x^2+y^2-8z=6没有整数解.

x^2 + y^2 = 6 + 8z = 2(3 + 4 z)
假设存在整数解, 等式右端为偶数, 所以 x^2+y^2为偶数, x,y 均为偶数, x=2m, y=2n
那么x^2+y^2= 4(m^2+n^2) = 2 (3+4z)
3+4z = 2(m^2+n^2)
左边奇数右边偶数矛盾

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